Geometrische reeks sommeren

[apie030]

Dag,

In verschillende takken van de wetenschap komen reeksen voor waarbij reeksen worden gevonden als -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Ik heb een vraag over iets wat ik tegen kwam in de literatuur. De rij is als volgt:
exp(lia)+exp((l-1)ia)+...+exp((1-l)ia)+exp(-lia), waarbij a in rad en l gehele getallen.

De som van deze rij is gelijk aan a*sin(l+0.5) / sin(a/2).
De literatuur geeft vervolgens niet het bewijs, maar ben erg benieuwd. Zou iemand mij kunnen helpen?

[flappelap]

Dit is een meetkundige reeks; de imaginaire e-macht is absoluut genomen altijd kleiner dan 1. Splits de reeks op voor positieve l en negatieve l, gebruik de formule voor de meetkundige reeks op beide stukken, en herschrijf deze twee termen met imaginaire e-machten als een sinus.

[Xilvo]

Stel, a is heel klein. Dan is iedere term exp((L-x)ia) = cos((L-x)a) +i.sin((L-x)a) met x = 0..2L nagenoeg 1 mits L niet te groot wordt (ik gebruik maar een hoofdletter L, omdat de kleine letter zoveel op 1 lijkt).
De sommatie levert dan vrijwel 2L+1 op.

Als a heel klein is, is a/sin(a/2) nagenoeg 2 terwijl sin(L+0.5) ≤ 1 en dus kan a*sin(L+0.5) / sin(a/2) nooit veel groter worden dan 2.
De gegeven uitkomst kan daarom niet correct zijn. Of lees ik de vraag verkeerd?

[ukster]

Met a=ωt[rad] en een beetje herschikken lijkt het een exponentiele Fourierreeks te zijn

Exponentiele Fourierreeks.png (5.5 KiB) 1283 keer bekeken