asteroide

[ukster]

Een asteroïde met massa M explodeert in een bolvormige homogene wolk in de vrije ruimte. De wolk zet uit en de expansie is bolsymmetrisch. Momentaan, wanneer de straal van de wolk R₀ is, wordt waargenomen dat alle deeltjes aan het oppervlak zich radiaal van het centrum van de wolk verwijderen met snelheid v₀.
vraag: Wat zal de straal R van de wolk zijn als de uitdijing stopt?

Ik meen begrepen te hebben dat de gravitationele bindingsenergie voor een uniforme expanderende bol de potentiële energie is in de energiebehoudswet: PE_i+KE_i=PE_f+KE_f
dus: -(3/5)GM²/R₀ + KE_i = -(3/5)GM²/R + 0
De vraag is opgelost als de uitdrukking KE_i bekend is.

Wat is de expressie voor KE_i ?

[Xilvo]

Ik zou naar een deeltje in die bolschil kijken. Die ervaart zwaartekracht alsof alle massa van die bolschil in het centrum van die bol zit.

De energie per massa-eenheid is dan \(\frac{1}{2}v_0^2-G\frac{M}{R_0}\)
Die energie is hetzelfde als wanneer de wolk (of het deeltje) tot stilstand komt \(\frac{1}{2}v_0^2-G\frac{M}{R_0}=-G\frac{M}{R_f}\)

[ukster]

Zou het vanwege die (3/5) niet gewoon (3/5)*(1/2)Mv₀² kunnen zijn?

[Xilvo]

Die K in KE is geen variabel maar KE staat gewoon voor kinetische energie?

[ukster]

PE potentiële energie
KE kinetische energie

[Xilvo]

Ja, dat vermoedde ik al. Dan komt het overeen met wat ik schreef, op die factor (3/5) na.
Ik heb geen idee waar die vandaan zou kunnen komen. Waar komt die formule vandaan?

[ukster]

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitati ... ing_energy

Als het is wat ik denk dat het is ,dan: R=2GMR₀/(2GM-v₀²R₀)

[Xilvo]

Als het is wat ik denk dat het is ,dan: R=2GMR₀/(2GM-v₀²R₀)

Daar kom ik ook op uit.
Mijn formule geldt in ieder geval voor een deeltje aan de buitenkant van de bol, mits het niet ingehaald wordt door deeltjes die dieper in de bol zaten. Dat lijkt me niet waarschijnlijk maar ik weet het niet zeker.

Ook leuk om te kijken of de bol homogeen kan blijven. Dan moeten alle snelheden steeds op ieder moment evenredig zijn met de afstand tot het centrum

[ukster]

Ja, uitgaande van homogeen : explosiesnelheid v=(r/R₀)v₀

[ukster]

G=6,67.10^-11
v₀=10^-4 m/s
M=2.10⁶ kg
R₀=20 km

expansie is gestopt bij R=79,88 km

[Gast]

Wat is de expressie voor KE_i ?

De indices i en f staan voor resp. initial en final. (Mocht dit nog niet duidelijk zijn.)

[Gast]

Dus KEi zou ook nul zijn, dat moet ook wel bij:
-(3/5)GM2/R0 + KEi = -(3/5)GM2/R + 0

Dus dat schiet niet op. Leuk vraagstuk verder, maar ik vraag me af of het zo simpel is..

[Gast]

Oh nee, dat is helemaal niet waar. Maar is -(3/5)GM2/R dus de maximale PE_g. En lijkt het idd te kloppen. Ja, es ist richtig.

Sorry, niks gezegd.

[Gast]

G=6,67.10^-11
v₀=10^-4 m/s
M=2.10⁶ kg
R₀=20 km

expansie is gestopt bij R=79,88 km

Het is wel zo dat wanneer ik als eerste (en laatste) astronaut een wind zou laten in de ruimte, dat meer kwalificeerd als "explosie" .

Misschien overbodig, maar misschien ook niet (?) .. iig ter aanvulling.

Een (voor mij) makkelijkere manier om het probleem op te lossen is om eerst aan te nemen dat v_0 kleiner is dan de ontsnappingssnelheid van een bolsymmetrische massa, M, met een straal, R_0. De mechanische energie van een deeltje met massa, m, op afstand, R_0, van het centrum is

E=1/2mv^2_0−GMm/R_0,

aangenomen dat het zwaartekrachtpotentiaal nul is op oneindig. Behoud van mechanische energie geeft

E=−GMm/R,

wanneer het deeltje stopt. Het gelijkstellen van de twee uitdrukkingen voor de mechanische energie en het oplossen van R zou dan hetzelfde gaan met R=2GM*R_0/(2GM-v0^2*R_0).

Beetje slordig zo, zonder LaTeX .. maar s laat.

[Xilvo]

Ja, uitgaande van homogeen : explosiesnelheid v=(r/R₀)v₀

Nog even nagegaan: Als de massaverdeling homogeen is en de explosiesnelheid zoals je hier geeft, dan blijft de massaverdeling homogeen.