Leibniz had it wrong?

[Math-E-Mad-X]

Is de functie g van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) met functievoorschrift g(x) = | x - e | differentieerbaar voor alle x uit het domein?

Ja, die is overal differentieerbaar, want voor ieder rationaal getal kun je een omgeving kiezen die klein genoeg is zodat e er niet in zit. Binnen die omgeving gedraagt die functie zich gewoon als een lineaire functie.

[Professor Puntje]

Ah - dank! Waar ik mij nu zorgen om maak is of dat consequenties heeft voor de gebruikelijke rekenregels voor het differentiëren die we tot nog toe gebruikt hebben alsof die ook voor functies van \( \mathbb{Q} \) maar \( \mathbb{R} \) gewoon op zouden gaan. Is dat eigenlijk wel zo...?

[Math-E-Mad-X]

Heb je een specifieke rekenregel in gedachte waar je aan twijfelt?

[Professor Puntje]

De kettingregel, maar ik weet niet waarom...

[Professor Puntje]

En zo zijn er meer voorbeelden

\(f(q)=(q^2+2)^{\sqrt{2}}\)

met als afgeleide \(2\sqrt{2}q \cdot(q^2+2)^{\sqrt{2}-1}\) en als 2e afgeleide

\(2 \sqrt{2} (q^2+2)^{\sqrt{2}-1} + 4 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(q^2+2)^{\sqrt{2}-2}=(\frac{2\sqrt{2}}{q^2+2}+\frac{4 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(q^2+2)^2})(q^2+2)^{\sqrt{2}}\)

(de derde afgeleide is weer 0 voor q=0)

De vraag is hoe dit verder gaat, blijft die afwisseling van een rationaal nulpunt en geen rationaal nulpunt zich steeds herhalen?

Misschien kunnen we iets met onderstaande algemene vorm (voor A₁ t/m A_n positieve algebraïsche getallen):

\(\)

\( \left [ \mathrm{Q}_n(\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, ... , \mathrm{A}_n) \right ](q) = \left (\frac{\mathrm{A_1}}{q^2+2}+\frac{\mathrm{A_2}}{(q^2+2)^2} + ... + \frac{\mathrm{A_n}}{(q^2+2)^n} \right )(q^2+2)^{\sqrt{2}} \)

[Professor Puntje]

De volgende functie \( f \) van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) lijkt het gezochte wisselende patroon van enen en nullen in \( \mathrm{ar}(f) \) op te leveren: \( f(x) = e^{x^2 + 1} \)

Maar het bewijs heb ik nog niet...

[Professor Puntje]

Afgezien van de tekens lijken de in de afgeleiden optredende polynomen zo zie ik net op de Wikipedia op de Hermite-polynomen.

[Professor Puntje]

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_p ... expression

Laten we daarvan nu de volgende variant definiëren: onder de grondpolynomen G_n(x) verstaan we:

\(\)

\( \mathrm{G}_n(x) = \left \{ \begin{array}{l} n! \sum\limits_{ k = 0 }^{ \frac{n}{2} } \frac{1}{(2 k)! (\frac{n}{2} - k)! } \cdot (2x)^{2k} & \mbox{voor even n} \\ n! \sum\limits_{ k = 0 }^{ \frac{n-1}{2} } \frac{1}{(2 k + 1)! ( \frac{n-1}{2} - k )! } \cdot (2 x)^{2 k + 1} & \mbox{voor oneven n} \end{array} \right. \)

[Professor Puntje]

De volgende functie \( f \) van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) lijkt het gezochte wisselende patroon van enen en nullen in \( \mathrm{ar}(f) \) op te leveren: \( f(x) = e^{x^2 + 1} \)

Maar het bewijs heb ik nog niet...

Mijn vermoeden is dat de n-de afgeleide \( f^{(n)} \) van \( f \) te schrijven is als: \( f^{(n)}(x) = \mathrm{G}_n(x) \cdot e^{x^2 + 1} \) .

\(\)

Als dit correct is zal dat door middel van volledige inductie te bewijzen moeten zijn...

[Professor Puntje]

Even geprobeerd, maar dat worden monsterlijke formules. Kan iemand het met een computerprogramma natrekken of de n-de afgeleide van \( f(x) = e^{x^2+1} \) inderdaad \( f^{(n)}(x) = \mathrm{G}_n(x) \cdot e^{x^2 + 1} \) is?

[Marko]

Als ik niks over het hoofd ie kan dit denk ik redelijk rechttoe-rechtaan. Als je het opschrijft als

\(f^{(n)}(x) = \mathrm{G}_n(x) \cdot e^{x^2 + 1}\)

Dan geldt voor

\(\mathrm{G}_{n+1}(x) = \frac {d}{dx} \mathrm{G}_{n}(x) + 2x \cdot \mathrm{G}_{n}(x)\)

Als nu G_n(x) een polynoom is met enkel even termen, dan is de afgeleide een polynoom met enkel oneven termen, en 2n*G_n is dat ook. Dus is G_n+1 een polynoom met enkel oneven termen (en dus ook geen constante term) en dus is G_n+1(0)=0. En omgekeerd, als G_n+1(x) een polynoom is met enkel oneven termen, dan is G_n+2(x) een polynoom met enkel even termen.

Voor deze situatie geldt ook nog dat de coëfficiënten in de polynomen allemaal positief zijn, dus de polynomen met enkel even termen hebben dan per definitie geen reële nulpunten.

Dus f⁽ⁿ⁾ heeft afwisselend geen reëele nulpunten of heeft x=0 als nulpunt.

Voor de volledigheid zou je denk ik nog moeten aantonen dat G_n voor n oneven, ook steeds een term p*x bevat, zodat de afgeleide ook daadwerkelijk een constante term p heeft, en dus geen reëel nulpunt kan bevatten.

[Professor Puntje]

Als ik niks over het hoofd ie kan dit denk ik redelijk rechttoe-rechtaan. Als je het opschrijft als

\(f^{(n)}(x) = \mathrm{G}_n(x) \cdot e^{x^2 + 1}\)

Maar dat is wat nog te bewijzen valt, en dat - lijkt mij - een boel onoverzichtelijk rekenwerk op te leveren. Ik wil zulke zaken ook in de toekomst graag met de computer leren aanpakken, maar omdat zo'n computeraanpak nu te veel afleidt van ons topic zal ik daar een apart topic over starten. Verder ziet de functie \( f(x) = e^{x^2+1} \) er wat de afwisselende nullen en enen in ar(f) betreft inderdaad veelbelovend uit. Dat lijkt mij het grootste probleem niet.

[Marko]

Het gebruik van de G is hier wellicht verwarrend. Ik bedoelde het algemener. Voor elke functie

\(f(x) = P(x) \cdot e^{x^2+1}\)

met P(x) een willekeurige polynoom geldt

\(f'(x) = (\frac {d}{dx}P(x) + 2xP(x)) \cdot e^{x^2+1}\)

Schrijf dit als

\(f'(x)=Q(x) \cdot e^{x^2+1}\)

Wanneer nu P(x) een polynoom is met enkel even termen en P(x) in ieder geval een constante term heeft. Dus:

\(P(x)=\sum \limits_{i=0}^{\infty} a_ix^{2i}\)

met a_i > 0 voor i = 0 en a_i ≥ 0 voor i > 0.

Dan is Q(x) een polynoom met enkel oneven termen en in ieder geval een term a*x.

Zou je f''(x) schrijven als

\(f''(x)=R(x) \cdot e^{x^2+1}\)

Dan geldt dat R(x) enkel even termen bevat en een constante term heeft en dus aan dezelfde voorwaarden voldoet als P(x), en f''(x) dus aan dezelfde voorwaarden als f(x).

Dit geldt voor alle polynomen met om het even welke coëfficiënten, zolang P(x) aan de gestelde voorwaarde voldoet (dus enkel even termen en in ieder geval een constante term). Dus ook voor de situatie hier, waar P(x)=1; Q(x)=2x en R(x)=(2+4x²) etc.

[Professor Puntje]

Aha - het begint me te dagen. Begrijp ik het goed dat we helemaal geen exacte uitdrukking voor de n-de afgeleide nodig hebben om in te kunnen zien dat \( e^{x^2+1} \) voldoet?

[Marko]

Inderdaad!