Leibniz had it wrong?
Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde
- Berichten: 7.463
Re: Leibniz had it wrong?
Volgende vraag: is er een probleem met het differentiëren van zulke functies?
- Berichten: 10.564
Re: Leibniz had it wrong?
Ik denk dat het wel van belang is dat de tussenwaardestelling betrekking heeft op de reële getallen en niet van toepassing is in Q.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
- Berichten: 7.463
Re: Leibniz had it wrong?
Inderdaad - want als dat wel zo was dan zouden de gevonden voorbeeldfuncties niet enkel en alleen transcendente functiewaarden kunnen hebben.
Het definiëren van afgeleiden voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) lijkt mij niet problematisch. Je hoeft enkel maar het domein tot de rationale getallen in te perken, maar limieten laten zich verder gewoon definiëren.
Het definiëren van afgeleiden voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) lijkt mij niet problematisch. Je hoeft enkel maar het domein tot de rationale getallen in te perken, maar limieten laten zich verder gewoon definiëren.
- Berichten: 10.564
Re: Leibniz had it wrong?
Sorry, laat maar. Ik had een heel deel van de laatste berichten niet gezien.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
- Berichten: 7.463
Re: Leibniz had it wrong?
Vervolgens kunnen we dit proberen:
Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.
Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.
Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.
Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.
- Berichten: 2.906
Re: Leibniz had it wrong?
Nee. Althans, ik zie geen enkel probleem.Professor Puntje schreef: ↑ma 06 dec 2021, 17:22 Volgende vraag: is er een probleem met het differentiëren van zulke functies?
De afgeleide is gedefinieerd via optellen, aftrekken, delen, en het nemen van een limiet naar 0. Al die operaties zijn gewoon netjes gedefinieerd voor functies van \(\mathbb{Q}\) naar \(\mathbb{R}\). En dat de functiewaarden allemaal transcendentaal zijn doet er ook niet toe.
-
- Berichten: 3.934
Re: Leibniz had it wrong?
Ik probeer te snappen wat het probleem is maar vind geen enkel aanknopingspunt. kan iemand eens samenvatten waar dit nu over gaat?
- Berichten: 7.463
Re: Leibniz had it wrong?
Dit is wiskundige spielerei zonder technische toepassingen. De probleemstelling is naar aanleiding van een droom geleidelijk aan tot stand gekomen en heeft (tot nu toe) geresulteerd in onderstaande exacte formulering:
Dat kun je voorlopig ook als samenvatting van de probleemstelling beschouwen.Professor Puntje schreef: ↑ma 06 dec 2021, 23:13 Vervolgens kunnen we dit proberen:
Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.
Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.
- Berichten: 2.906
Re: Leibniz had it wrong?
Probleemstelling? Ik zie helemaal geen probleemstelling. Ik zie hier alleen maar een definitie.Professor Puntje schreef: ↑di 07 dec 2021, 11:36Dat kun je voorlopig ook als samenvatting van de probleemstelling beschouwen.Professor Puntje schreef: ↑ma 06 dec 2021, 23:13 Vervolgens kunnen we dit proberen:
Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.
Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.
Kortom, het is mij ook nog altijd niet duidelijk waar je nou precies naartoe wil met dit topic.
- Berichten: 7.463
Re: Leibniz had it wrong?
Dat is mij ook nog niet duidelijk. Het is nu nog een verkenningstocht. Best mogelijk dat dit nergens toe leidt. Maar wat ik mij op dit moment dus afvraag is of de boven gedefinieerde functieklassen wiskundig interessant zijn, en zo ja of ze binnen de wiskunde al bekend en onderzocht zijn.
- Berichten: 2.906
Re: Leibniz had it wrong?
Ik heb geen flauw idee...Professor Puntje schreef: ↑di 07 dec 2021, 17:16 Maar wat ik mij op dit moment dus afvraag is of de boven gedefinieerde functieklassen ... binnen de wiskunde al bekend en onderzocht zijn.
- Berichten: 7.463
Re: Leibniz had it wrong?
We hebben dan \( f \) als de afgeleide van \( \mathrm{F}(q) = \left (q + \frac{1}{3} q^3 \right ) \cdot \pi \) . Maar F heeft een nulpunt en dus één of meer niet-transcendente functiewaarden.
- Berichten: 10.564
- Berichten: 7.463