Tijddilatatie met constante afstand?

[wnvl1]

einstein.png (19.09 KiB) 927 keer bekeken

Stel Emmy staat in het centrum en Albert draait rond haar met snelheid v en straal r. Emmy meet de positie van Albert met polaire coördinaten. De metriek wordt dan :

$$ ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2) $$

Merk op dat de centrifuge zich bevindt in een vlakke ruimte waarin geen massa aaanwezig is. Als Albert ronddraait met snelheid v hebben we:

$$ d\theta= \frac{v}{r} dt $$

en bijgevolg:

$$ ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 = (v^2 - c^2)dt^2 $$

In het frame van Albert dat met hem mee beweegt geldt:
$$ds^2 = -c^2dt'^2$$.
Als we de lijnelementen van Albert en Emmy gelijkstellen hebben we:

$$ -c^2dt'^2 = (v^2 - c^2)dt^2 $$

of:

$$ dt'^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})dt^2 $$

of:

$$ dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma} $$

Vanuit het standpunt van Emmy loopt de klok van Albert langzamer dan de hare. Een tijd dt' op de klok van Albert correspondeert met dt (groter dan dt') op de klok van Emmy.

[wnvl1]

We maken nu een andere oefening vanuit gravitationeel standpunt. We geven Emmy nu een massa M en Albert draait als een sateliet rond haar. Isaac bekijkt alles vanop oneindige afstand. De metriek wordt nu de Schwarzschildmetriek:

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{c^2r}}+r^2d\theta^2 $$

We stellen \(dr = 0\) en bekomen:

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + r^2 d\theta^2 $$

De baansnelheid is:

$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

en zoals in de vorige oefening kan \(d\theta\) geschreven worden als:

$$ d\theta = \frac{v}{r}dt = \frac{\sqrt{GM/r}}{r} dt $$

en als we dit substitueren in de metriek bekomen we:

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2 $$

In het referentieframe van Albert hebben we:

$$ds^2 = -c^2dt'^2$$

We stellen opnieuw beide lijnelementen gelijk aan elkaar:

$$ -c^2dt'^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2 $$

wat leidt tot:

$$ dt' = \sqrt{1-\frac{3GM}{c^2r}}dt = \sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}dt $$

met \(r_s\) de Schwarzschild straal van Emmy:\( r_s = 2GM/c^2\).

Vanuit het standpunt van Isaac op oneindig loopt de klok van Albert langzamer dan de zijne. Een tijd dt' op de klok van Albert correspondeert met dt (groter dan dt') op de klok van Isaac.

[wnvl1]

Ik denk dat het bij mijn tweede oefening niet mogelijk is om alles vanuit het standpunt van Emmy te bekijken omdat zij in de singulariteit zit.
Ik vraag me af of het op een eenvoudige manier mogelijk is om het geval waarbij Isaac en Albert beiden in de centrifuge zitten en de dilatatie tov elkaar willen bereken uit te rekenen op een gelijkaardige manier zoals ik hierboven gedaan heb zonder uit te wijken naar het Doppler effect.

[HansH]

$$ dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma} $$

Vanuit het standpunt van Emmy loopt de klok van Albert langzamer dan de hare. Een tijd dt' op de klok van Albert correspondeert met dt (groter dan dt') op de klok van Emmy.

dat lijkt precies dezelde formule als de gravitationele tijd dilatatie.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitati ... e_dilation maar dan met een minteken. Dus zou mijn idee dan bevestigen.

[wnvl1]

Welk idee bedoel je precies?

[Xilvo]

Welk idee bedoel je precies?

Ik denk die in het stukje "Outside a non-rotating sphere"
Daar staat de tijddilatatie als functie van de ontsnappingssnelheid.
Dat is niet zo bijzonder, het kwadraat van de ontsnappingssnelheid is een maat voor de gravitatie potentiaal.

Alleen dat min-teken zie ik niet.

[HansH]

Welk idee bedoel je precies?

bericht dan wo 02 feb 2022, 22:58

[wnvl1]

Toch blijft mij dit idee bezighouden:
cirkelend in een baan om een zware massa is er blijkbaar geen tijd dilatatie omdat er geen zwaartekracht is omdat de baan precies een vrije val is. dat is dus de som van een centrifuge effect en zwaartekracht die elkaar precies compenseren.

Tijdsdilatatie is geen lokale eigenschap. Je moet dus steeds twee punten met elkaar vergelijken.

(1) Tussen twee personen in dezelfde baan rond dat zware voorwerp is er geen tijdsdilatatie volgens mij omwille van symmetrie. Niet omdat centrifuge effect en zwaartekracht mekaar zouden compenseren, denk ik. Het zwaartekracht effect is nul én het centrifuge effect is nul. Los van elkaar.

(2) Tussen een persoon op de baan en een persoon op de zware massa is er tijdsdilatatie. Je kan dat evt. beschouwen als bestaand uit een effect door de gravitatie en een effect door de snelheid. Vanop de zware massa bekeken loopt de tijd trager op de zware massa door de gravitatie en sneller door de snelheid van het voorwerp van de baan. Beid effecten werken in verschillende richting.

(3) Tussen een persoon op de baan en een persoon op oneindig is er tijdsdilatatie.

(4) Tussen een persoon op de zware masse en een persoon op oneindig is er tijdsdilatatie.

Het tegenovergestelde is blijkbaar als je je in een centrifuge bevindt in een ruimte zonder zwaartekracht. Dan is er steeds een kracht naar buiten die tegenovergesteld is aan zwaartekracht. In een centrifuge verloopt jouw tijd blijkbaar sneller dan de tijd voor de waarnemer op grote afstand. De pure centrifuge.

Als je een pseudokracht invoert door te werken met een roterend assenstelsel moet je wel opletten wat je doet met de waarnemer op oneindig. Die zou dan oneindig snel ronddraaien. In mijn uitgewerkte oefening heb ik die daarom op r=0 gezet. Dat is de basisformule voor tijdsdilatatie dan met de \(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\).

[wnvl1]

Ik denk die in het stukje "Outside a non-rotating sphere"
Daar staat de tijddilatatie als functie van de ontsnappingssnelheid.
Dat is niet zo bijzonder, het kwadraat van de ontsnappingssnelheid is een maat voor de gravitatie potentiaal.

Alleen dat min-teken zie ik niet.

Er staat

$$t_0 =t_f(\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}})$$

Op oneindig heb je geen gravitatie, dus daar kom je een grotere waarde voor de verlopen tijd uit dan voor een eindige waarde van r waar je wel gravitatie hebt. Maar misschien gaat het over een ander min-teken.

[Xilvo]

Ik bedoelde \(t_0 = t_f \sqrt{1 - \tfrac{v_e^2}{c^2}} \)

[wnvl1]

Wat dit topic af zou maken, zou een berekening zijn op basis van de metriek die aantoont dat op een centrifuge er geen tijdsdilatatie is tussen twee objecten op dezelfde straal zonder te zeggen dat dit geldt omwille van symmetrie en zonder te verwijzen naar het dopplereffect, want geen doppler effect is volgens mij niet hetzelfde als geen tijdsdilatatie. Tijdsdilatatie speelt wel een rol in de berekening van het doppler effect.

Ik vind zoiets alvast nergens terug en heb ook niet direct de kennis of capaciteiten om daar zelf op te komen, vrees ik.

[wnvl1]

Ik bedoelde \(t_0 = t_f \sqrt{1 - \tfrac{v_e^2}{c^2}} \)

Maar wat bedoel je dan met "Alleen dat min-teken zie ik niet."?

[Xilvo]

Wat dit topic af zou maken, zou een berekening zijn op basis van de metriek die aantoont dat op een centrifuge er geen tijdsdilatatie is tussen twee objecten op dezelfde straal zonder te zeggen dat dit geldt omwille van symmetrie en zonder te verwijzen naar het dopplereffect, want geen doppler effect is volgens mij niet hetzelfde als geen tijdsdilatatie.

Je zou de kracht door de draaiende centrifuge als en potentiaal kunnen zien die lager wordt naarmate je verder van het middelpunt bent.
Bij een "gewone" gravitatie kun je de dilatatie afleiden uit het verlies van energie van een foton als het naar een punt met hogere potentiaal reist. Bij die centrifuge is dat lastig omdat je met een corioliskracht te maken krijgt. Je kunt het foton niet loodrecht op de bewegingsrichting wegsturen want dat bereikt het het centrum niet.
Ik weet niet hoe je dit (elegant) kunt aanpakken.

Maar wat bedoel je dan met "Alleen dat min-teken zie ik niet."?

Dit:

dat lijkt precies dezelde formule als de gravitationele tijd dilatatie.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitati ... e_dilation maar dan met een minteken. Dus zou mijn idee dan bevestigen.

[HansH]

Ik denk dat het bij mijn tweede oefening niet mogelijk is om alles vanuit het standpunt van Emmy te bekijken omdat zij in de singulariteit zit.

Emmy zit in de singulariteit bij de situatie met zwaartekracht. Maar je zou Emmy ook op een vaste positie voldoende ver weg van de massa kunnen zetten. Datzelfde zou je ook kunnen doen voor Emmy in ht geval van de centifuge. Immers omdat je in het midden stil zit maat het niet uit of je dar gaat zitten of bv 1000km verderop. Dus dan kun je beide situaties 1 op 1 vergelijken.

[HansH]

voor de zwaartekracht geldt:
$$t_0 =t_f(\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}})$$
dus de dilatatie als functie van r

jij had de volgende formule adgeleid voor de centifuge: dat geeft ook de tijddilatatie voor een afstand r maar dan uitgedrukt in v
$$ dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma} $$
Wat je volgens mij kunt doen is het volgende:
in de centrifuge kun je voor elke afstand r tot het midden van de centrifuge de snelheid v uitrekenen die overeenkomt met dezelfde snelheid in een cirkelbaan rondom een zware massa bij afstand r van die zware massa.
als je dat doet krijg je als het goed is 2 verglijkingen waar alleen nog maar r in voorkomt:
1) die voor de zwaartekracht waarbij de baansnelheid v=F(r)
2) die voor de centrifuge waarbij baansnelheid v=F(r) zodat je precies dezelfde centripetale kracht hebt als de zwaartekracht op die hoogte r tot het centrum.
vraag is dus hoe die formule $$t_0 =t_f(\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}})$$ dan omzet naar een formule waar alleen nog maar v in voorkomt als functie van r