Sneller dan het licht d.m.v. zwaartekracht

[banaan94]

Hoi allen,

Ik heb al een paar jaar een vraag waar ik online geen antwoord op kan vinden en toch nog benieuwd naar ben. Ik weet vrij zeker dat mijn theorie niet werkt, maar kan iemand mij (met middelbare school kennis, dit is geen huiswerk) uitleggen waarom?

Stel (eerste benadering): in een verder compleet leeg universum bevinden zich twee planeten op een bepaalde afstand van elkaar. Zonder andere krachten zullen de planeten een aantrekkingskracht op elkaar uitoefenen:

\(F_g = G * (m_1 * m_2 / r^2)\)

De planeten zullen nu versnellen:

\(a = F/m\)

De snelheid zal op lineaire wijze toenemen, en als de planeten om te beginnen ver genoeg van elkaar verwijderd zijn, zullen ze uiteindelijk de snelheid van het licht bereiken.

Maar: als je rekening houdt met de effecten van relativiteit, dan stijgen de massa's van de planeten naarmate zij de lichtsnelheid naderen, immers:

\(γ = 1 / (\sqrt{1 - v^2/c^2})\)

\(m = γm0\)

Voor de toenemende massa is steeds meer energie nodig, zodat voor een snelheid v = c oneindig veel energie nodig is (dit was de verklaring van mijn docent een paar jaar geleden). Daarom zou dit niet werken.

Echter (laatste weerlegging): als de massa van de planeten toeneemt, dan heeft dit weer invloed op de daaruit voortkomende kracht. Met andere woorden, hoe groter de massa, hoe groter de kracht die de twee planeten naar elkaar toe trekt, en dus hoe groter de versnelling. Daarmee is het effect van de relativiteit opgeheven en kan de lichtsnelheid bereikt worden. Mijn docent had hier geen antwoord meer op. Waar ga ik de mist in?

[Bladerunner]

Het gaat hier om relativistische massa (of liever: energie) als gevolg van een hoge snelheid. Fg houdt daar geen rekening mee en neemt alleen de rust massa in de berekening mee.

Bovendien geldt de massa toename etc. alleen voor een waarnemer en niet voor de planeet zelf. Die zal zich dus niet zwaarder 'voelen'.

[Bladerunner]

En daar gaat dus die hele relativiteitstheorie over.
Twee personen kunnen totaal verschillende dingen zien maar kunnen dan volgens de relativiteitstheorie beiden gelijk hebben.
Als iemand een ruimteschip met haast de lichtsnelheid voorbij ziet komen dan lijkt dat schip korter te zijn dan als het stil staat of als de waarnemer met de zelfde snelheid verplaatst. De energie/massa is dan ook groter en de tijd gaat trager. Dus een klok op dat schip zal er b.v. 10 sec over doen om naar de volgende seconde te springen maar dat ziet alleen de stilstaande waarnemer. De astronaut aan boord ziet dat helemaal niet. Dus die klok loopt gewoon en hijzelf is niet ingekort tot de dikte van een speelkaart evenmin is zijn schip korter geworden of hijzelf zwaarder.

Dus kan de formule van Newton niet worden toegepast op deze wijze.

Een simpel voorbeeld: Een man laat een bal stuiteren tussen de grond en zijn hand. Voor hem gaat de bal op en neer. Maar als die man voorbij komt in een voertuig en jij kijkt naar die bal, dan verplaatst die bal zich ook horizontaal. Voor jou maakt die bal dus een golfbeweging. Beide hebben gelijk vanuit hun gezichtspunt gezien.

[wnvl1]

\(F_g = G * (m_1 * m_2 / r^2)\)

Het probleem is dat deze vergelijking niet van toepassing is in de algemene relativiteitstheorie. Je moet de Einstein vergelijking gebruiken. Dat is een tensovergelijking. De bron van zwaartekracht in deze vergelijking is de energie impuls tensor waarin de massa nog steeds verwerk zit maar op een veel complexere manier.

[MargrietvanHeyden]

De relativistische massa toename heeft geen effect op de kracht tussen de massa's. De massa's zullen zeker niet tot de lichtsnelheid versnellen. Als de planeten oneindig ver weg van elkaar staan zullen zij elkaars ontsnappingssnelheid bereiken. Een massa die tegen de lichtsnelheid beweegt zal geen zwart gat worden.

[wnvl1]

De relativistische massa toename heeft geen effect op de kracht tussen de massa's.

Als de snelheid toeneemt, dan neemt toch de energie impulstensor toe en dan neemt toch de "kracht" toe, niet?

[Bladerunner]

We weten dat het Andromeda stelsel naar ons toekomt en zal versmelten met de Melkweg. Momenteel gebeurt dat met een snelheid van 110 km/s. Gegeven de afstand van 2,5 miljoen lichtjaar duurt het nog ±4 miljard jaar voordat het zover is. De versnelling echter is momenteel onmeetbaar klein. Want als je er vanuit gaat dat beiden stelsels sinds de vorming al naar elkaar toegaan (dat is ±10 miljard jaar geleden) dan kom je op een huidige versnelling van minder dan 10^-16 km/s².

Nu verwacht men dus dat beiden stelsels zullen versmelten en dat betekend dat de naderingssnelheid wel wat hoger is maar bij lange na niet in de buurt van de lichtsnelheid komt want anders schieten ze dwars door elkaar heen en verwijderen ze weer.
Uiteraard zullen ze als ze 'vlakbij' elkaar zijn gekomen gaan vervormen omdat de zwaartekracht tussen beiden groter gaat worden dan tussen de buitenste sterren onderling maar dit zal een relatief traag proces zijn.

Zou het kloppen wat de TS zegt dan was men vast tot een andere uitkomst gekomen dan de aanstaande versmelting. Want als je van grote hoogte iets laat vallen dan versnelt het tot aan de ontsnappingssnelheid ook al laat je het eerst van 5 en later van 60 km vallen. Voor 2 naderende planeten is het niet anders. Ze bevatten weliswaar (relativistische) kinetische energie maar het is toch echt de rustmassa die de versnelling bepaald.

[wnvl1]

De "valversnelling" wordt bepaald door de Einsteinvergelijking.

$$R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}$$

Links is een maat voor de kromming van de ruimte. De grootheid die rechts staat, T, is de energie-impuls-tensor, en is een object dat ruwweg zegt hoeveel massa en energie er op een bepaalde plaats in de ruimte is. Hier speelt de snelheid wel een zekere rol.

[Bladerunner]

En laat nu eens zien dan wat het verschil in de uitkomst is tussen deze berekening en die van Newton? Want daar gaat het nu om. Zolang er geen sprake is van een relativistische snelheid kun je gewoon Newton gebruiken.

[wnvl1]

Uiteraard kan je dan Newton gebruiken, maar ik meende dat deze vraag bedoeld was als oefening op algemene relativiteit.

Als één massa veel zwaarder is dan de andere kan je als benadering werken met de Schwarzschild metriek. Dit vind je terug in alle inleidende boeken over ART en is best te begrijpen. De afwijking in de baan van Mercurius tov de klassieke wetten van Keppler kan op die manier uitgerekend worden.

Echter als de massa's van dezelfde grootteorde zijn, dan is die Schwarzschild-benadering niet meer van toepassing. De ene massa gaat de ruimte krommen ter hoogte van de andere massa, maar de andere massa gaat op haar beurt ook de ruimte krommen en die kromming gaat afhankelijk zijn van de snelheid want die zit via de energie impuls tensor in de Einsteinvergelijking verwerkt. Je gaat tot een complexe wisselwerking komen. Om het probleem dan op te lossen ga je je toevlucht moeten zoeken tot numerieke technieken. Dat valt volledig buiten mijn kennis.