Frosty

[ukster]

Frosty.png (9.11 KiB) 1067 keer bekeken

Frosty is gemaakt van twee uniforme sferische sneeuwballen, initieel met stralen 2R en 3R.
De kleinere staat bovenop de grotere.
Tijdens het smelten neemt het volume af met een snelheid die recht evenredig is met de oppervlakte.
De evenredigheidsconstante k is hetzelfde voor elke sneeuwbal.
Tijdens het smelten blijven de sneeuwballen bolvormig en uniform.

. Hoe verhoudt Frosty’s volume zich tot zijn initiële volume als Frosty de helft van zijn oorspronkelijke lengte heeft.
. Wat is deze verhouding als Frosty een tiende van zijn oorspronkelijke lengte heeft?

[wnvl1]

Stel x is een maat voor de straal, dan geldt

$$\frac{d4\pi x^3}{3dt}=-4\pi kx^2$$
$$\frac{dx^3}{dt}=-3kx^2$$
$$\frac{dx}{dt}=-k$$

De lengte van de bovenste sneeuwbal evolueert dus als \( 2Re^{-kt}\) en die van de onderste als \( 3Re^{-kt}\). De totale lengte evolueert dus volgens \(L=L_0e^{-kt} \). En het volume volgens \(V=V_0e^{-3kt} \)

Dus dan blijft een achtste van het volume over als hij gehalveerd is qua lengte.

[ukster]

ik krijg iets anders...

Frosty1.png (6.32 KiB) 1023 keer bekeken

Frosty2.png (6.62 KiB) 1023 keer bekeken

[wnvl1]

Ja mijn dv is verkeerd opgelost.

[ukster]

En als Frosty 1/10 van zijn oorspronkelijke lengte heeft is de volumeverhouding 1/216

[ukster]

hmm.. ik denk dat het 1/280 is.

[Xilvo]

Ik kom op hetzelfde antwoord als Ukster, voor als de lengte gehalveerd wordt.
Maar wel op een volgens mij veel simpelere manier.

Het volume neemt af met een snelheid recht evenredig met het oppervlak.
Dat betekent dat de stralen met een constante en gelijke snelheid afnemen.

Het gaat om de verhoudingen, dus stel de diameters 2 en 3. De hoogte is dan 5.
Die moet 2,5 worden door eenzelfde hoeveelheid d van elk van de diameters weg te nemen.
2-d+3-d=2,5. Dus d=1,25

Het volume was eerst \(2^3+3^3=35\) (het gaat om de verhouding dus de constantes laat ik weg).
Dat wordt \((2-1,25)^3+(3-1,25)^3=5,78125\)

Dat geeft voor de verhouding \(\frac{V_{begin}}{V_{eind}}=0,165179\), gelijk aan \(\frac{37}{224}\)


Doe je hetzelfde voor een lengteafname tot eentiende, dan wordt d=2,25. Dat kan niet dus je zal het in twee stappen moeten doen, eerst een afname van 2, dan is de kleine bol verdwenen. En dan verder met alleen de grote bol

[ukster]

Oke, dus 1/280

[Xilvo]

volgens mij geeft deze methode geen juist antwoord als Frosty 1/10 van z'n lengte heeft.

De kleine bal verdwijnt dan helemaal dus moet de grote een diameter van 0,5 krijgen.

[Xilvo]

Oke, dus 1/280

Ja!

[ukster]

klopt het dat voor R=10cm en k=3.10^-7 m/s na 9,645 dagen helemaal niets meer over is van Frosty?

[Xilvo]

Met k=3E-7 m/s en een straal van 0,3 m wordt de tijd volgens mij 0,3/3E-7 = 1E6 s = 11,57 dag.