de gamma factor bij lorentz transformaties

[Piet Voorman]

Goedemorgen,

Ik was wat aan het spelen met de lorentstranformaties:

Even om makkelijker te kunnen typen; gamma = y en bèta = B

x = y(x'+Bct') --> x/y = x'+Bct'

met t'=t/y
x/y - Bct/y = x' dus (x-Bct)/y = x'

Wiskundig zitten hier geen foutjes in als het goed is. Echter als je de lorentz transformatie afleid voor x' kom je op
x' = y(x-Bct) uit. Welke ook te vinden is in op alle naslagen (wikipedia en boeken).

Blijkbaar gaat er iets natuurkundigs mis. Wat zie ik over het hoofd?

[Xilvo]

De fout die je maakt is dat hier geldt dat \(t'=\gamma(t-\beta\frac{x}{c})\)

Gebruik je dat dan kom je wel goed uit.

[Piet Voorman]

Ok, maar waarom?

[Xilvo]

Waarom die formule voor t' zo is?

[Piet Voorman]

Ja waarom mag er hier geen gebruikt worden gemaakt van de normale tijddilatatie formule? t=yt'

En moet dat nu zijn: t' = y(t-Bx/c)

[EvilBro]

De lorentz transformaties vertellen je hoe tijden en plekken in het ene inertiaalstelsel er uit zien in het andere stelsel. Deze transformaties worden beschreven door:

\(x' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( x - v t \right)\)

\(t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( t - \frac{v x}{c^2} \right)\)

Als we nu het speciale geval bekijken:

\(x = v t\)

Dit is dus de waarnemer die met constante snelheid v beweegt in het ene stelsel. Met behulp van de transformaties kun je dan zien wat deze waarnemer ziet in het stelsel dat met snelheid v beweegt (= het andere stelsel = het stelsel van die waarnemer):

\(x' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( v t - v t \right) = 0\)

\(t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( t - \frac{v^2 t}{c^2} \right)= \frac{1 - \frac{v^2}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} t = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} t\)

Merk op dat dit laatste is wat jij 'de normale tijddilatatie' noemt. Dit is in werkelijkheid dus een zeer specifiek geval.

[Xilvo]

Ja waarom mag er hier geen gebruikt worden gemaakt van de normale tijddilatatie formule? t=yt'

Die zit er ook in. Maar die formule zegt alleen hoe snel je een klok in een ander stelsel ziet vanuit je eigen stelsel, niet welke tijd die klok precies aangeeft. Wat gelijktijdig is voor de ene waarnemer is dat niet voor een andere.

En moet dat nu zijn: t' = y(t-Bx/c)

ja, dus twee termen, één voor de tijddilatatie en één voor de "andere" gelijktijdigheid.
\(t'=\gamma(t-\beta\frac{x}{c})=\gamma t-\gamma \beta\frac{x}{c}\)
Dat is hoe de waarnemer in het stelsel met tijd \(t\) de tijd ziet in het stelsel met tijd \(t'\)

[Piet Voorman]

Super. snap ik helemaal. Thx!