limiet berekenen

[aadkr]

[aadkr]

er zit een klein foutje in mijn laatste bericht
s(2)=a1-a2+a3-a4+a5
dit moet zijn:
a5=a1-a2+a3-a4+a5

[aadkr]

[aadkr]

[Bart23]

Beste aadkr

Met een 'eenvoudig' trukje is de precieze som ook te bepalen. Ik kom uit op

\(2-5\ln2=1,465736\)

vriendelijke groeten
Bart

[aadkr]

Beste Bart
Zou je mij dit trukje ook willen leren.
Alvast hartelijk dank.

[Bart23]

Zeker!
Het idee is de algemene term te splitsen in een verschil van 2 breuken door wat men noemt 'splitsen in partieelbreuken'. Zo krijgen we een zogenaamde 'telescopische som', d.w.z. een som waarvan alle termen wegvallen of te vereenvoudigen zijn.
Meer bepaald:

\(\frac{k+3}{k(k+1)}=\frac{A}{k}-\frac{B}{k+1}\)

Waarin we A en B kunnen bepalen door de noemers weg te werken:

\( k+3=A(k+1)-Bk\)

en dan coëfficiënten gelijkstellen, ofwel respectievelijk k=0 en k=-1 in te vullen. Zo krijgen we A=3 en B=2. Dus:

\(\frac{k+3}{k(k+1)}=\frac{3}{k}-\frac{2}{k+1}\)

Zo vinden we

\(s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots\)

\(=-\left(\frac{3}{1}-\frac{2}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{3}{3}-\frac{2}{4}\right)+\cdots\)

\(=-3+\frac{5}{2}-\frac{5}{3}+\frac{5}{4}-\cdots\)

\(=2-5\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\right)\)

Nu is de reeks tussen haakjes een bekende reeks met als reekssom ln 2, wat je kan zien door x=1 in te vullen in de MacLaurinreeks voor ln(x+1). (zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Taylorreeks )
Zo komen we tot de gevraagde reekssom.
groetjes
Bart

[aadkr]

mijn bewondering hiervoor
hoogachtend
aad

[aadkr]

[wnvl1]

De harmonische is een divergente minorante reeks...

[aadkr]

[Bart23]

Dag Aad
met de 'alternating series test' (zie je bericht van 24 aug)
groetjes
Bart

[aadkr]

[wnvl1]

Lukt het zo wel?

$$\frac{3^{k+1}}{3^k}=???$$

$$\frac{k!}{(k+1)!}=???$$

[aadkr]

ik begrijp wat je bedoeld, die limiet met die absolute waarde strepen daar komt uit 3/k dit naderd tot nul . dus de limiet is kleiner 1 , dus absoluut convergent.
maar je moet toch ook de limiet voor k naderd tot +oneindig van 3 tot de macht k gedaald door k faculteit moet toch ook berekend worden???