kritische straal

[ukster]

met hulp van Maple !

[ukster]

die k-waardes in bericht vr 26 mei 2023, 15:56 kloppen niet ! De tekening klopt overigens wel.
Eigenlijk moet de gespiegelde blauwe cirkel nog getekend worden. die hoort immers ook bij de oplossing .
de Maple antwoorden zijn juist!

[RedCat]

Nog wat nader bekeken:

Gegeven n en r zoek je oplossingen (x, y, k) voor dit stelsel:

\(\left\{ \begin{matrix}
x^2 + (y-k)^2=r^2 & \Rightarrow k = y \pm \sqrt{r^2-x^2} & (1) \\
y=x^{2n}& & (2) \\
2n\cdot x^{2n-1}=\frac{-x}{y-k}& \Rightarrow k=y+\frac{1}{2n}x^{2-2n} & (3) \\
\end{matrix}
\right.\)

Uit (1) en (3) volgt (via kwadrateren en vermenigvuldigen met x⁴ⁿ) :

\(x^{4n+2}-r^2x^{4n} + \frac{x^4}{4n^2}=0\)

Definieer t = x² dan wordt dit

\(t^2\cdot \left(t^{2n-1}-r^2t^{2n-2} + \frac{1}{4n^2}\right)=0\)

Als t = 0 dan is x = 0, volgt uit (2) dat y = 0 en uit (1) dat k = ±r. Dit geeft je 2 blauwe cirkels.

De overige oplossingen vindt je als (defineer functie g(t)):

\(g(t) = t^{2n-1}-r^2t^{2n-2} + \frac{1}{4n^2} = 0\)

waarbij t ≥ 0 (vanwege t = x²).
Omdat g(0) > 0 en g(∞) = ∞ > 0 hebben we voor nulpunten van g dus in ieder geval een minimum nodig.
Afgeleide nul stellen:

\(g'(t) = (2n-1)t^{2n-2}-(2n-2)r^2t^{2n-3} = 0\)

\(t^{2n-3} \left[ (2n-1)t-(2n-2)r^2\right] = 0\)

Voor t>0 vinden we voor mogelijk minimum t^∗

\(t^\star = \frac{(2n-2)r^2}{2n-1}\)

1. Als g(t^∗) < 0 zijn er 2 extra oplossingen voor t, dus 4 voor x en het stelsel
1 oplossing voor t tussen nul en t^∗, en 1 oplossing voor t > t^∗ (numeriek op te lossen)
Dit geeft 2 verschillende nieuwe cirkels in de grafiek

2. Als g(t^∗) = 0 is er 1 extra oplossing voor t, dus 2 voor x en het stelsel
Dan is t = t^∗, goed voor 1 nieuwe cirkel in de grafiek.
Maple ziet dit als 2 gelijke oplossingen (de dubbele oplossingen in jouw voorlaatste post).
De straal r waarvoor dit geldt noemen ze blijkbaar de kritische straal r_k
r_k is dus vrij eenvoudig meetkundig te bepalen = r_min uit mijn vorige post

3. Als g(t^∗) > 0 zijn er geen andere oplossingen dan t = 0 (je 2 blauwe cirkels)


PS:
Kan Maple ook exacte oplossingen geven voor r > r_k (bijvoorbeeld n = 3, r = 1.2) ?
(ik heb geen Maple)

[ukster]

Dat wordt lastig denk ik
in Maple blijft het bij

numeriek1.png (12.52 KiB) 257 keer bekeken

numeriek2.png (16.01 KiB) 257 keer bekeken

Tab Exact forms?
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... +and+n%3D3

[RedCat]

Tab Exact forms?
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... +and+n%3D3

Inderdaad met een vraagteken.
De exacte oplossing van een vijfdegraadsvergelijking is de oplossing van een andere vijfdegraadsvergelijking "ergens in de buurt van x = 1.08378" komt op mij ook niet erg exact over:

wolframrkrit1.png (8.72 KiB) 248 keer bekeken

PS:
Jouw Maple oplossingen komen allemaal overeen met de waarden die ik vind via de formules in mijn vorige post.