state space

[ukster]

State space modellen zijn modellen die toestandsvariabelen gebruiken om een systeem te beschrijven door middel van een reeks eerste-orde differentiaal- of verschilvergelijkingen, in plaats van door een of meer n-de-orde differentiaal- of verschilvergelijkingen. Als de set van eerste-orde differentiaalvergelijkingen lineair is in de toestands- en invoervariabelen, wordt het model een lineair toestandsruimtemodel genoemd.

State Space format.png (1.76 KiB) 1654 keer bekeken

Zelf heb ik hiermee geen enkele ervaring maar State Space modellen blijken een krachtig hulpmiddel om het gedrag van dynamische systemen te begrijpen en te voorspellen.
Nu wil ik mij hierin wat verder verdiepen aan de hand van een systeem met differentiaalvergelijking

Systeem DV.png (957 Bytes) 1654 keer bekeken

Het systeem heeft:

systeemvariabelen.png (2 KiB) 1654 keer bekeken

1 Genereer het lineair state space model.
2 Teken de grafiek van de stapresponsie.

Verandering van variabelen wellicht?

[wnvl1]

De afgeleide van x kan je gelijkstellen aan x2 en de tweede afgeleide aan x3. Zo kan je het omvormen.

[ukster]

As ik het goed begrijp wordt de matrix vorm:

state space matrix vorm.png (8.34 KiB) 1587 keer bekeken

dat vergt dus een oplossing middels (Maple/Mathematica/Matlab)

[wnvl1]

Het is ook wel leerrijk om zoiets met de hand te leren oplossen. Daar komen eigenvectoren en hoofdvectoren bij kijken. Dat is best een interessant stuk wiskunde.

[ukster]

Oké.. genoeg om in te verdiepen dus.
Ik was vergeten u met 3 te vermenigvuldigen.

State space.png (7.45 KiB) 1510 keer bekeken

[ukster]

Stapresponsie op 1V via state space model

state space model.png (7.14 KiB) 1479 keer bekeken

Vreemd genoeg krijg ik voor y1(t) een circa 10x hogere waarde als ik in Maple de gegeven DV plot met Solve DE interactively

[Xilvo]

Vreemd genoeg krijg ik voor y1(t) een circa 10x hogere waarde als ik in Maple de gegeven DV plot met

Als ik de dv op z'n jan-boeren-fluitjes numeriek oplos kom ik na 1 s op een waarde van 2272.

[ukster]

Als ik de dv op z'n jan-boeren-fluitjes numeriek oplos kom ik na 1 s op een waarde van 2272.

Solve DE interactively is een functie binnen Maple, dus geen verwijzing naar een site.
hiermee krijg ik de waarde 2409,701 (alle begincondities op nul gezet)
zou er misschien toch een foutje zitten in het state space model?

[Xilvo]

Blijkbaar had ik mijn tijdstap dt wat te groot gekozen. Met dt=1E-7 kom ik op 2409,695
En met dt=1E-8 op 2409,705

Is het zomaar een willekeurig bedachte dv of zit er een echt (fysisch) vraagstuk achter?

[wnvl1]

Heb je in het state space model in maple ook alle toestandsvariabelen op 0 gezet? Want dat is niet zo duidelijk uit de blauwe specificatie die je laat zien.

[ukster]

ic := [y1(0) = 0, D(y1)(0) = 0]
opgenomen in de opdracht: ResponsePlot(sys, Step(1), output = y1(t), initialconditions = ic, duration = 1)
geeft Error, (in DynamicSystems:-Simulate) initial conditions for a state-space model must be a Vector.

Nu nog uitzoeken hoe dat moet en of ic wel compleet is, (de toestandsvariabelen zitten er immers nog niet in)
bedoel je dit?
ic := [y1(0) = 0, D(y1)(0) = 0, x1(0) = 0, x2(0) = 0, x3(0) = 0]

[ukster]

Is het zomaar een willekeurig bedachte dv of zit er een echt (fysisch) vraagstuk achter?

Uit mouw geschud.
Nogmaals, State Space modellen blijken een krachtig hulpmiddel om het gedrag van dynamische systemen te begrijpen en te voorspellen, dus zeker interessant om de resultaten ervan eens te vergelijken met de bestaande oplossingsmethoden.

[wnvl1]

ic := [y1(0) = 0, D(y1)(0) = 0]
opgenomen in de opdracht: ResponsePlot(sys, Step(1), output = y1(t), initialconditions = ic, duration = 1)
geeft Error, (in DynamicSystems:-Simulate) initial conditions for a state-space model must be a Vector.

Nu nog uitzoeken hoe dat moet en of ic wel compleet is, (de toestandsvariabelen zitten er immers nog niet in)
bedoel je dit?
ic := [y1(0) = 0, D(y1)(0) = 0, x1(0) = 0, x2(0) = 0, x3(0) = 0]

Ik verwacht iets genre

ic := [x1(0) = 0, x2(0) = 0, x3(0) = 0]

De toestandsvariabelen specifiëren is voldoende. Probeer dan nog eens opnieuw...

[ukster]

ingevoerd: ic := [x1(0) = 0, x2(0) = 0, x3(0) = 0]
Helaas, nog steeds dezelfde melding!

[wnvl1]

Ik zal eens proberen in matlab.