Unieke Fibonacci-som
-
- Berichten: 638
Unieke Fibonacci-som
De stelling van Zeckendorf
Ieder telgetal is òf een Fibonacci-getal òf de som van een aantal elkaar niet opvolgende Fibonacci-getallen.
Zo’n som is uniek.
Bijvoorbeeld 100 = 3 + 8 + 89 en 64 = 55 + 8 + 1.
Volgens welk 'recept' vind je die unieke som?
Ieder telgetal is òf een Fibonacci-getal òf de som van een aantal elkaar niet opvolgende Fibonacci-getallen.
Zo’n som is uniek.
Bijvoorbeeld 100 = 3 + 8 + 89 en 64 = 55 + 8 + 1.
Volgens welk 'recept' vind je die unieke som?
- Moderator
- Berichten: 9.995
Re: Unieke Fibonacci-som
Dat recept lijkt me (zonder het te bewijzen) eenvoudig:
Het getal x is een Fibonaccigetal; klaar.
Zo niet: vind het grootste Fibonaccigetal < x, trek dat van x af.
Herhaal tot je op een Fibonaccigetal komt.
Het getal x is een Fibonaccigetal; klaar.
Zo niet: vind het grootste Fibonaccigetal < x, trek dat van x af.
Herhaal tot je op een Fibonaccigetal komt.
- Moderator
- Berichten: 9.995
-
- Berichten: 463
Re: Unieke Fibonacci-som
Zie het recept van Xilvo.
Als x zelf geen Fibonacci-getal is, dan ligt x tussen 2 opeenvolgende Fibonacci-getallen in:
\(\small f_{n-1} < x < f_n\)
Trek het grootste Fibonacci-getal kleiner dan x hiervan af:
\(\small (f_{n-1}-f_{n-1}) < (x-f_{n-1}) < (f_n-f_{n-1})\)
ofwel
\(\small 0 < (x-f_{n-1}) < f_{n-2}\)
Het volgende Fibonacci-getal in de Zeckendorf-representatie van x is dus kleiner dan fn-2 (= de voorganger van fn-1).Construeer hiermee een inductief bewijs voor het bestaan van zo'n representatie.
-
- Berichten: 638
Re: Unieke Fibonacci-som
Het ging me niet om een bewijs van de stelling maar om de manier waarop je de termen van zo'n som kunt bepalen.
- Moderator
- Berichten: 9.995