Stelling van Noether

[wnvl1]

Het bewijs van de stelling van Noether begint met de Lagrangiaan die invariant is onder een symmetrie transformatie. Ik plaats hier een stukje uit de wiki link.

https://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem

De perturbaties van t en q moet ik daar naar kijken als een gewone coördinatentransformatie of als een actieve transformatie waarbij ik alles verplaats. Of kan je het op beide manieren bekijken?

Ik zou denken dat het een actieve transformatie moet zijn. Je pakt de volledige omgeving vast en verplaatst alles. Als je er nu naar kijkt als een coördinatentransformatie, waar zit dan juist het verschil in de wiskundige afwikkeling met een actieve transformatie?

[flappelap]

Ik reageer morgen even!

[wnvl1]

Eigenlijk denk ik dat ik de voorstelling in Peskin en Schroeder beter begrijp.

Ze vertrekken van iets wat ze optellen bij het veld

In geval van een symmetrie moet de Lagrangiaan invariant zijn op de divergentie van een stroom na.

Pes2.png (8.1 KiB) 1565 keer bekeken

Die strooom moet dan bewaard blijven.

Pes3.png (2.21 KiB) 1565 keer bekeken

Of een alternatieve kijk is dat er behoud van lading is

Pes4.png (1.69 KiB) 1565 keer bekeken

Dan gaan ze kijken naar een translatie en die translatie die gaan ze herschrijven als een soort van \(\Delta \phi\).

Pes5.png (10.7 KiB) 1565 keer bekeken

[wnvl1]

Zee volgt Peskin en Schroeder redelijk letterlijk.
Schwichtenberg in zijn no nonsense QFT boek schrijft dan weer.

Dan vind ik het moeilijk om te begrijpen wat (4.26) precies betekent en wat die remains unchanged juist betekent.
Je zou denken dat als je een coördinatentransformatie doet, ik zeg maar iets x->x+4, dat de waarde van de Lagrangiaan dan sowieso dezelfde blijft op een vast punt in de ruimte beschreven in de oude of in de nieuwe x-coördinaten.

[flappelap]

Het bewijs van de stelling van Noether begint met de Lagrangiaan die invariant is onder een symmetrie transformatie. Ik plaats hier een stukje uit de wiki link.

https://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem

noether.png

De perturbaties van t en q moet ik daar naar kijken als een gewone coördinatentransformatie of als een actieve transformatie waarbij ik alles verplaats. Of kan je het op beide manieren bekijken?

Ik zou denken dat het een actieve transformatie moet zijn. Je pakt de volledige omgeving vast en verplaatst alles. Als je er nu naar kijkt als een coördinatentransformatie, waar zit dan juist het verschil in de wiskundige afwikkeling met een actieve transformatie?

You're entering a world of pain here

Elke passieve transformatie (je verschuift geen punten, maar verandert alleen je coördinatenstelsel) kun je 1 op 1 afbeelden op een actieve transformatie (je verschuift je punt maar blijft in hetzelfde coördinatenstelsel zitten). Je kunt het dus op beide manieren bekijken. In het geval van isometrieën (symmetrieën) is de meest natuurlijke interpretatie w.m.b. de actieve transformatie. Daarin zie je vaak variaties van b.v. een scalair veld als volgt:

\(\delta \phi (x) = \phi'(x) - \phi(x) = \xi^{\mu}\partial_{\mu}\phi(x)\)

Je bekijkt dus de functionele verandering van het veld in één en hetzelfde punt. Als deze functionele verandering nul is, dan spreek je van een symmetrie. Zie b.v. ook

https://arxiv.org/abs/1601.03616

blz 8 voetnoot 2. De meest gedetailleerde discussie die ik hierover ken staat in Walds GR-boek in een appendix. Ik heb ooit eens voor mezelf aantekeningen hierover geschreven; misschien heb je er wat aan (zie bijlage)

[flappelap]

Zee volgt Peskin en Schroeder redelijk letterlijk.
Schwichtenberg in zijn no nonsense QFT boek schrijft dan weer.

s1.png

Dan vind ik het moeilijk om te begrijpen wat (4.26) precies betekent en wat die remains unchanged juist betekent.
Je zou denken dat als je een coördinatentransformatie doet, ik zeg maar iets x->x+4, dat de waarde van de Lagrangiaan dan sowieso dezelfde blijft op een vast punt in de ruimte beschreven in de oude of in de nieuwe x-coördinaten.

Ja. Ik denk dat Schwichtenberg hier het passieve standpunt inneemt. Ik zou zelf ook een priemetje op de Lagrangiaan plaatsen, want de Lagrangiaan is een scalair veld per definitie onder de Poincarégroep (let op: als je algemene coordinatentransformaties beschouwt, dan moet de maat d^4 x nog een wortel (-g) bevatten, dus zo triviaal is het niet dat een lagrangiaan of actie invariant blijft onder passieve transformaties!) In het passieve (en ook actieve, natuurlijk) standpunt geldt voor elk scalair veld phi immers

\( \phi'(x') - \phi(x) = 0 \)

Een Peskin en Schroeder nemen het actieve standpunt in, maar die notatie vind ik op sommige punten persoonlijk ook erg verwarrend (het stuk dat je quote dan weer niet). Mijn advies zou zijn om voor jezelf één interpretatie goed op te schrijven (wat betekenen de variaties, welk standpunt neem ik in, etc) en het daar bij te houden. Dit is denk ik één van de meest subtiele en verwarrende aspecten van (kwantum)veldentheorie, en verschillende boeken vergelijken kan een heleboel verwarring veroorzaken.

[flappelap]

Eigenlijk denk ik dat ik de voorstelling in Peskin en Schroeder beter begrijp.

Ze vertrekken van iets wat ze optellen bij het veld

Pes1.png

In geval van een symmetrie moet de Lagrangiaan invariant zijn op de divergentie van een stroom na.

Pes2.png

Die strooom moet dan bewaard blijven.

Pes3.png

Of een alternatieve kijk is dat er behoud van lading is

Pes4.png

Dan gaan ze kijken naar een translatie en die translatie die gaan ze herschrijven als een soort van \(\Delta \phi\).

Pes5.png

De translatie is hier inderdaad in actieve zin, en wordt formeel door een Lie-afgeleide gegeven. Bij een Lie afgeleide gebruik je een "push forward" om het tensorveld naar een nieuw punt te duwen (waardoor je het tensorveld dus niet alleen in een nieuw punt evalueert, maar waardoor het tensorveld ook functioneel verandert!). Daarna "trek" je dit getransformeerde tensorveld weer terug naar het oude punt, en vergelijk je deze uitdrukking met de oorspronkelijke uitdrukking. Het verschil tussen beide termen, oftewel de variatie, is de Lie-afgeleide en wordt voor een scalair veld gegeven door de uitdrukking die ik eerder gaf (en P&S ook geven).

[wnvl1]

Die Lie afgeleiden was ik helemaal vergeten. Een jaar of twee geleden heb ik mezelf ART geleerd en in elk boek wordt die Lie afgeleide uitgelegd. (Ik lees altijd een paar boeken tegelijk). Dat begreep ik wel redelijk vlot.
Bij QFT wordt in geen enkel boek dat ik aan het lezen ben naar die Lie afgeleide verwezen.

[wnvl1]

Als ik uitga van een actieve transformatie, dan wordt het

$$\phi(x)\rightarrow \phi'(x) \doteq \phi(\Lambda^{-1}(x)) \ \ (1)$$

en

$$\partial_{\mu}\phi(x) \rightarrow (\Lambda^{-1})^{\nu}_{\mu}(\partial_{\nu}\phi)(\Lambda^{-1}x)$$

Dat lijkt mij de kijk die mij het beste past.

[flappelap]

Die Lie afgeleiden was ik helemaal vergeten. Een jaar of twee geleden heb ik mezelf ART geleerd en in elk boek wordt die Lie afgeleide uitgelegd. (Ik lees altijd een paar boeken tegelijk). Dat begreep ik wel redelijk vlot.
Bij QFT wordt in geen enkel boek dat ik aan het lezen ben naar die Lie afgeleide verwezen.

Hier is dat idd ook wat overkill omdat je niet met algemene coördinaten transformaties hebt te maken. Maar in de ART definieer je diffeomorfismes (actieve transfo's) met pushforwards en pullbacks, waarmee je vervolgens weer de Lie afgeleide definieert. En die vormen precies de variaties als het om Noetherstromen gaat.

[flappelap]

Als ik uitga van een actieve transformatie, dan wordt het

$$\phi(x)\rightarrow \phi'(x) \doteq \phi(\Lambda^{-1}(x)) \ \ (1)$$

en

$$\partial_{\mu}\phi(x) \rightarrow (\Lambda^{-1})^{\nu}_{\mu}(\partial_{\nu}\phi)(\Lambda^{-1}x)$$

Dat lijkt mij de kijk die mij het beste past.

Ik heb daar nooit de logica van ingezien, eerlijk gegezegd. Waarom zou je het getransformeerde punt x noemen, en het oude punt Lambda^{-1}x? Maar zoals ik zei: vind een uitleg die voor jou hout snijdt

[wnvl1]

Stel ik wil de achtergrond een meter naar rechts verschrijven. Dan krijgt mijn veld de waarde die het originele veld had een meter naar links. Dat suggereert voor mij die inverse.

[wnvl1]

De originele paper van Emmy Noether staat ook online.
http://cwp.library.ucla.edu/articles/no ... rt186.html

Zoals zij het verwoord, vind ik het ook wel duidelijk.
Hier een stukje met de transformatie.

[wnvl1]

Je bekijkt dus de functionele verandering van het veld in één en hetzelfde punt. Als deze functionele verandering nul is, dan spreek je van een symmetrie. Zie b.v. ook

https://arxiv.org/abs/1601.03616

blz 8 voetnoot 2. De meest gedetailleerde discussie die ik hierover ken staat in Walds GR-boek in een appendix. Ik heb ooit eens voor mezelf aantekeningen hierover geschreven; misschien heb je er wat aan (zie bijlage)

Op diezelfde p8 staat ook

Dus eigenlijk heb je helemaal geen actieve of passieve transformatie nodig. Je past gewoon het veld aan. Als je er zo naar kijkt is het probleem van actieve of passieve transformaties van de baan.

[flappelap]

Stel ik wil de achtergrond een meter naar rechts verschrijven. Dan krijgt mijn veld de waarde die het originele veld had een meter naar links. Dat suggereert voor mij die inverse.

Mja, ik vind dat maar onduidelijk. Wat voor mij nog steeds het duidelijkst is: je voert een actieve transformatie uit,

\( x \rightarrow x' = \Lambda x\)

waardoor je scalaire veld transformeert naar

\( \phi(x) \rightarrow \phi '(x') \)

Je scalaire veld verandert dus functioneel door deze transformatie, en je evalueert het veld in het nieuwe punt x' (in hetzelfde coordinatenstelsel).

Per definitie geldt tot slot voor een scalair veld dat

\( \phi(x) = \phi '(x') \)