x-verplaatsing

Moderator: Rhiannon

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

x-verplaatsing

x-verplaatsing.png
x-verplaatsing.png (12.52 KiB) 4786 keer bekeken
De massieve bol met massa M=1,2kg en straal R rolt zonder slip naar beneden langs het blok met massa m=0,8kg en helling φ=20°. Het blok beweegt wrijvingsloos over het horizontale oppervlak.
Initiële condities: Alle objecten zijn in rust en het middelpunt van de bol bevindt zich op afstand H boven het horizontale oppervlak.
Wat is de verplaatsing van blok m na t=5 sec, aangenomen dat de bol dan nog steeds langs de helling rolt. g=9,81m/s2

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: x-verplaatsing

Een eerste vergelijking al.

Er zijn geen horizontale externe krachten, dus de horizontale projectie van de som van alle 'm*a' moet nul zijn.

$$a(m+M)=R\ddot{\theta}M\cos\phi$$

met a de versnelling van m.

$$F_wR=I\ddot{\theta}$$

met Fw de wrijvingskracht tussen bol en massa m.

Het centrum van de bol heeft een vertikale versnelling gelijk aan

$$a \tan\varphi + R\ddot{\theta} \sin\varphi$$

Daaruit kan ik dan de normaalkracht tussen bol en massa berekenen

$$F_n \cos \varphi - mg + F_w \cos \varphi = M(a \tan\varphi + R\ddot{\theta} \sin\varphi) $$

De horizontale component van normaal kracht en wrijvingskracht zorgen voor de horizontale versnelling van m.

$$F_n \sin\varphi + F_w \cos \varphi = m a $$

En dan nog tweede van Newton op de vrijgemaakte bol horizontaal en verticaal.

Maar ik ben me aan het afvragen of Lagrange niet interessanter is.

Technicus
Berichten: 1.149

Re: x-verplaatsing

Gezien de wrijvingsloze ondergrond zal het gezamenlijke massamiddelpunt niet horizontaal verplaatsen. En gezien er geen slip tussen bol en blok is, zijn de onderlinge relatieve verplaatsingen te koppelen. Daarmee wordt het een single degree of freedom system.
Prima klusje voor Lagrange denk ik.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

Re: x-verplaatsing

Mee eens..
Hiermee kan de Lagrangiaan L=KE-PE gevonden worden
Lagrangiaan bepalen.png
coordinaten en snelheden punt C.png
coordinaten en snelheden punt C.png (3.02 KiB) 4677 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

Re: x-verplaatsing

De Langrangevergelijking vormt samen met de 1e vergelijking van wnvl1 een stelsel van twee vergelijkingen waar we mee verder kunnen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: x-verplaatsing

Mijn vergelijking legt een verband tussen de tweede afgeleiden. De tip van coenco legt een rechtstreeks verband tussen de hoek en de horizontale verplaatsing van het blok, de twee Lagrange vrijheidsgraden. Dit laatste is de weg die meestal gevolgd wordt bij Lagrange. Ik zal later ook eens proberen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: x-verplaatsing

Deze vergelijking (cfr hint Coenco) drukt uit dat het zwaartepunt invariant is.

$$(x+R\theta \cos \varphi)M+xm=0$$

Of anders geschreven

$$x = \frac{-MR\theta \cos \varphi}{M+m}$$

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: x-verplaatsing

$$T= \frac{m \dot{x}^2}{2} + \frac{M (\dot{x}^2+2cos(\varphi)R\dot{\theta}\dot{x} + R^2\dot{\theta}^2)}{2}+ \frac{MR^4 \dot{\theta}^2}{5}$$

$$V= -Rg \sin\varphi \theta $$

$$L=T-V$$

Dit dan combineren met

$$x = \frac{-MR \cos \varphi}{M+m}\theta$$

En je hebt een differentiaalvergelijking

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{\theta}}\right)- \frac{dL}{d\theta} =0$$

in \(\theta\) met beginvoorwaarden \(\theta(0)=0\) en \(\dot{\theta}(0)=0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

Re: x-verplaatsing

Ik mis nog wel een M in de uitdrukking voor V en in de laatste term van T moet het R2 zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.167

Re: x-verplaatsing

Klopt, zijn foutjes van mij.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

Re: x-verplaatsing

Oke, het schiet nu aardig op.
x-verplaatsing blok m.png
x-verplaatsing blok m.png (12.46 KiB) 4562 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

Re: x-verplaatsing

Ai, er is een foutje geslopen in de Lagrangevergelijking.
het moet zijn:
Lagrangevergelijking.png
Lagrangevergelijking.png (1.15 KiB) 4550 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.477

Re: x-verplaatsing

x-verplaatsing blok m op t= 5sec
x-verplaatsing blok.png

Reageer