Oplossing complexe vergelijking
-
- Berichten: 77
Oplossing complexe vergelijking
Probeer al een tijdje dit vraagstuk op te lossen, maar zie geen enkele manier om Z of r te elimineren. Tip?
- Moderator
- Berichten: 9.994
Re: Oplossing complexe vergelijking
\(3r=5z+??i\)
Wat is de laatste term?
Wat is de laatste term?
- Moderator
- Berichten: 9.994
Re: Oplossing complexe vergelijking
Dan krijg je
\(3r=5r \cos \theta +5r i \sin \theta +20 i\)
dus
\(5r i \sin \theta =-20 i\)
en
\(3r=5r \cos \theta\)
Kom je hier verder mee?
\(3r=5r \cos \theta +5r i \sin \theta +20 i\)
dus
\(5r i \sin \theta =-20 i\)
en
\(3r=5r \cos \theta\)
Kom je hier verder mee?
-
- Berichten: 7.068
Re: Oplossing complexe vergelijking
Zie \(z\) als een vector met lengte \(r\) in het complexe vlak.
Teken, in het complexe vlak, vanuit de oorsprong de vector \(3 r\). Deze ligt volledig op de reële as.
Teken daarna een vector \(5 z\) met aan het einde een vector \(20 i\). Je komt dan op het einde van de \(3 r\) vector uit (dit moet vanwege de gegeven vergelijking).
Met behulp van de getekende driehoek en pythagoras kun je snel zien dat de 'hoogte' van de driehoek \(4 r\) is.
Sinus is overstaande gedeeld door schuine zijde, dus:
Teken, in het complexe vlak, vanuit de oorsprong de vector \(3 r\). Deze ligt volledig op de reële as.
Teken daarna een vector \(5 z\) met aan het einde een vector \(20 i\). Je komt dan op het einde van de \(3 r\) vector uit (dit moet vanwege de gegeven vergelijking).
Met behulp van de getekende driehoek en pythagoras kun je snel zien dat de 'hoogte' van de driehoek \(4 r\) is.
Sinus is overstaande gedeeld door schuine zijde, dus:
\(\sin(\phi) = -\frac{4}{5}\)
- Moderator
- Berichten: 9.994
Re: Oplossing complexe vergelijking
\(3r=5r \cos \theta\)
dus
\(\cos \theta=0,6\)
\(\sin \theta=\sqrt{1-0,36}\)
\(\sin \theta=-0,8\) of \(\sin \theta=0,8\)
Als \(r<0\) (wat misschien minder voor de hand ligt maar zeker kan) is \(\sin \theta=0,8\) de oplossing.
-
- Berichten: 1.247
Re: Oplossing complexe vergelijking
Die r kan natuurlijk nooit negatief zijn; r^2 = x^2 + y^2 e n x en y zijn per definitie reëel.
- Moderator
- Berichten: 9.994
-
- Berichten: 1.247
Re: Oplossing complexe vergelijking
Ik mag toch aannemen dat bedoeld wordt dat de vorm van z wordt gegeven in de gebruikelijke poolcoordinaten z=r*e^(i*theta).
- Moderator
- Berichten: 9.994
Re: Oplossing complexe vergelijking
Dat is wat waarschijnlijk bedoeld werd. Maar wiskundig niet de enige mogelijkheid.
\(r\) kan negatief zijn. Dat leidt niet tot een strijdigheid.
-
- Berichten: 7.068
Re: Oplossing complexe vergelijking
Oke... als we dan toch gek willen doen... Nergens staat dat r reëel moet zijn.
Of gaan we ook nog meenemen dat nergens staat dat het hier niet op de complexe sinus gaat...
\(3 r = 5 z + 20 i\)
\(3 r = 5 (r (\cos(\phi) + i \sin(\phi))) + 20 i\)
\(3 r = 5 r (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) + 20 i\)
\(3 r - 5 r (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) = 20 i\)
\(r (3 - 5 (\cos(\phi) + i \sin(\phi))) = 20 i\)
\(r = \frac{20 i}{3 - 5 (\cos(\phi) + i \sin(\phi))}\)
Aangezien de noemer voor geen enkele phi nul kan zijn, zijn alle waarden voor phi toegestaan. sin(phi) kan dus elke waarde hebben in [-1,1].Of gaan we ook nog meenemen dat nergens staat dat het hier niet op de complexe sinus gaat...
-
- Berichten: 1.247
Re: Oplossing complexe vergelijking
De r kan ook een element uit de groep van quaternionen zijn. Of theta kan een Grassmangetal zijn zodat e^(i*theta) exact gelijk is aan 1+i*theta. Of wat Evilbro zegt.
Ook mogelijk.
- Moderator
- Berichten: 9.994
Re: Oplossing complexe vergelijking
Ik schreef ook dat een positieve r meer voor de hand ligt. Dat maakt een negatieve r niet onmogelijk.
Ook niet door het tot in het absurde door te trekken.
Ook niet door het tot in het absurde door te trekken.
-
- Berichten: 7.068
Re: Oplossing complexe vergelijking
Welk absurde? Het is immers "wiskundig niet de enige mogelijkheid"...