hmax

[ukster]

Een projectiel wordt vanuit punt B gelanceerd met een snelheid 2000m/s onder een hoek van 30° met de horizontale as.
De snelheid wordt gemeten vanaf een niet roterend referentieframe dat beweegt met het midden van het aantrekkende lichaam. De aerodynamische wrijving wordt verwaarloosd. g=9,825 m/s² op aardoppervlak. De aardbolstraal is 6371km

hmax.png (64.42 KiB) 2090 keer bekeken

Wat is de maximale hoogte?

[Xilvo]

Numeriek vind ik 53893 meter.

[ukster]

En de noodzakelijke lanceersnelheid en lanceerhoek zodat β=90° ?

traject.png (78.96 KiB) 2055 keer bekeken

[Xilvo]

Met een lanceerhoek van 46 graden en een lanceersnelheid van 8000 m/s kom je in de buurt. Maar er zijn natuurlijk meer oplossingen.
Of zoek je de laagste lanceersnelheid waarbij dat mogelijk is?

[RedCat]

Een projectiel wordt vanuit punt B gelanceerd met een snelheid 2000m/s onder een hoek van 30° met de horizontale as.
De snelheid wordt gemeten vanaf een niet roterend referentieframe dat beweegt met het midden van het aantrekkende lichaam. De aerodynamische wrijving wordt verwaarloosd. g=9,825 m/s² op aardoppervlak. De aardbolstraal is 6371km
Wat is de maximale hoogte?

\(F_g = mg = \frac{GMm}{r_0^2}\)

\(GM = g\cdot r_0^2 \approx 3.9879322\cdot 10^{14}\)

\(dW = F dr\)

\(\displaystyle W = \int_{r_0}^{r_{max}} \frac{GMm}{r^2} \; dr = \left[ \frac{-GMm}{r}\right]_{r_0}^{r_{max}}\)

Dit moet gelijk zijn aan \(\frac{1}{2}mv_0^2\), waarbij \(v_0\) de verticale component is van de lanceersnelheid, die is 1000 m/s

Invullen levert \(r_{max}\) en vervolgens \(h_{max} = r_{max}-r_0 \approx 51300\) m

Zie ik wat over het hoofd?

[Xilvo]

Zie ik wat over het hoofd?

Misschien dat de horizontale component ook een beetje een deel van de verticale component wordt?
Jouw resultaat ligt in de buurt van het mijne (dat ook niet gegarandeerd juist is, natuurlijk). Maar het scheelt wel significant.

[wnvl1]

fout

[RedCat]

Ik heb alleen de arbeid W in de richting van de zwaartekracht genomen.
Mogelijk is er dan ook nog een centrifugale/centripetale kracht wegens richtingsverandering van de horizontale component.
Dat wordt voor mij weer even terug de boeken in.

[Xilvo]

Ik heb alleen de arbeid W in de richting van de zwaartekracht genomen.

Het voorwerp beweegt ook zijdelings, dat betekent (als de afgelegde weg niet te verwaarlozen is t.o.v. de omvang van de aarde) dat de richting van de zwaartekracht verandert, zoals wnvl1 al schreef (en wat hij bij nader inziens blijkbaar fout vond. Volgens mij klopte het wat hij schreef).

[wnvl1]

Ik was aan het twijfelen en prefereerde het even weg te halen.

[wnvl1]

In A/D staat het object niet stil, bekeken vanuit een inertieel assenstelsel. Het heeft daar ook nog kinetische energie en dat mankeert in de formule van RedCat.

[wnvl1]

De horizontale component ter hoogte van D is \(v_D = v_B \cdot \cos(\beta / 2 + \alpha)\)

Dan komen we tot

$$\left[ \frac{-GMm}{r}\right]_{r_0}^{r_{max}} + \frac{1}{2}mv_D^2= \frac{1}{2}mv_B^2$$

[wnvl1]

En dat is ook mis want die horizontale component verandert ook nog door de aantrekking van de aarde. Het is vanuit de wet van behoud van impulsmoment dat de snelheid in B berekend kan worden.

$$v_D \cdot r_{max} = v_B \cdot \cos(\beta / 2 + \alpha) \cdot r_0$$

[wnvl1]

Zo dan:

$$\left[ \frac{-GMm}{r}\right]_{r_0}^{r_{max}} + \frac{1}{2}m \frac{v_B^2 \cdot \cos^2(\beta / 2 + \alpha) \cdot r_0^2}{r_{max}^2}= \frac{1}{2}mv_B^2$$

[RedCat]

Bedankt wnvl1

Ik vermoed alleen dat die \(\small \beta/2\) (waarvan de waarde niet gegeven is) uit je laatste formule moet.

Dan ontstaat een tweedegraads vergelijking in \(\small r_{max}\), en als ik daarmee verder doorreken, dan kom ik uit op
\(\small h_{max} \approx 53893.187\) m
en dat is de waarde die Xilvo ook numeriek vond.