[wiskunde] cirkel en raaklijn

[aadkr]

hoe stel ik de vergelijking van die raaklijn op ????

[wnvl1]

(1) Wat is de algemene vergelijking van een rechte door A?
(2) Druk uit dat die rechte 1 snijpunt heeft met de cirkel. Tip: discriminant = 0.

[ukster]

Bepaal dy/dx door Impliciet differentiëren (y naar x) van de cirkelvergelijking.
De richtingscoëfficiënt a van de raaklijn is in het raakpunt gelijk aan dy/dx
isoleer y uit de vergelijking y=ax-4
Vul y in de cirkelvergelijking en bepaal de bijbehorende x-en y waarde van de 2 raakpunten
Beoordeel welke raakpunt coördinaat in aanmerking komt en bepaal hieruit de vergelijking van de raaklijn

[ukster]

De exacte straal r vind je door de cirkelexpressie (x-a)²+(y-b)²=r² te matchen met de gegeven cirkelvergelijking

[tempelier]

Bepaal dy/dx door Impliciet differentiëren (y naar x) van de cirkelvergelijking.
De richtingscoëfficiënt a van de raaklijn is in het raakpunt gelijk aan dy/dx
isoleer y uit de vergelijking y=ax-4
Vul y in de cirkelvergelijking en bepaal de bijbehorende x-en y waarde van de 2 raakpunten
Beoordeel welke raakpunt coördinaat in aanmerking komt en bepaal hieruit de vergelijking van de raaklijn

Ik denk dat dat niet goed is, want het is een analytische oplossing en er werd naar een algebraïsche gevraagd.

Het moet denk ik op zijn zijn Jan Boeren Fluitjes.

Bepaal de lijnen bundel door A.
Snij die met de cirkel en eis gelijke wortels.

Andersom kan ook maar dat is meer werk.

[ukster]

of....nadat je de straal r en de coördinaten van het middelpunt M hebt gevonden kan je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in de tekening eenvoudig met wat simpele meetkunde en goniometrie berekenen

[ukster]

bijvoorbeeld op deze manier...

[ukster]

Maar after all.. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn volgt natuurlijk direct uit de door wnvl1 voorgestelde algebraïsche oplossingsmethode.

[tempelier]

Ik heb er nog eens een nachtje over geslapen, dat brengt me vaak op een idee.

Er zit toch een addertje onder het gras bij de methode die wnvl1 en ik voorstelden

Men is geneigd de lijnen waaier y=mx+n door A te gebruiken. maar dat is niet juist.
Immers de raaklijn zou de lijn x=0 kunnen zijn men moet dus gebruiken: ax+by+c=0
Dit is denk ik de rede waarom men in de opgave eerst vraagt eerst de straal en middelpunt te berekenen waaruit blijkt dat B niet op de Yas kan liggen.

[tempelier]

bijvoorbeeld op deze manier...
straal en raaklijn bepalen.png

Ik vermoed dat je dan de tangenten wilt optellen.
Dat is echter geen algebraïsche oplossing maar een goniometrische.

Het lukt wel algebraïsch dacht ik.

Van driehoek AMB₉₀ zijn de die zijden bekend en de ligging van de punten A en M
Via het afstand begrip is nu de ligging van B te bepalen.
(Wel krijgt men dan twee oplossingen, waarvan er eentje moet worden geskipt.)

Hier uit krijgt men dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.

PS.
1. Het lijkt er op dat alles met Pythagoras direct en indirect lukt.

2. De r.c. is een wortel vorm. (radicaal)

3. Hele fraaie tekening, die je hebt gemaakt.

[ukster]

Het is zonneklaar..
1. Na substitutie van y=ax-4 in de cirkelvergelijking geeft het nulstellen van de discriminant de twee waarden voor a. De grootste waarde van a is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in de tekening.

2. Uit de match van de gegeven cirkelvergelijking met de algemene vergelijking (x-p)²+(y-q)²=r² volgt direct de coördinaten van het middelpunt M={p,q} en de straal r

[Nesciyolo]

Voor mij was de stof een beetje weggezakt. Ik zat een beetje te mijmeren hoe ik het probleem op zou kunnen lossen terwijl ik de goede methode vergeten ben. Ik kreeg een idee dat misschien een beetje omslachtig is maar dat misschien wel een oplossing oplevert. Hij gaat als volgt:

Als we de straal van cirkel C hebben bepaald dan definiëren we een cirkel met een 2x zo grote straal en middelpunt M.
Daarnaast definiëren we een cirkel met middelpunt A en straal AM (M ligt op de cirkel).
Dan kunnen we de snijpunten berekenen van die 2 nieuwe cirkels. Eén van de snijpunten zal links boven punt B liggen en zal ik punt D noemen. Het punt B ligt dan precies midden tussen D en M.

Wat denken jullie? Werkt deze methode?

[Xilvo]

Wat denken jullie? Werkt deze methode?

Als ik me niet vergis, ja. Maar of het nu makkelijker is dan de al genoemde methodes betwijfel ik.

[ukster]

Jazeker.. r=√5
de twee cirkels (x-5)²+(y-1)²=20 en x²+(y+4)²=50
geeft D(1,3)
bekend is M(5,1)
het midden hiervan is B(3,2)

[wnvl1]

Of je berekent het middelpunt van A en M en je noemt dat N. B is dan een snijpunt van de cirkel met middelpunt in N en straal |AM|/2 en de cirkel c.