[wiskunde] cirkel en raaklijn

[aadkr]

[ukster]

x²+y²-10x-2y+21=0
Substitueer y=ax-4
x²+(ax-4)²-10x-2(ax-4)+21=0
Oplossing: x_1,2=(5a+5)/(a²+1)±√(-20a²+50a-20)
Discriminant -20a²+50a-20=0
Oplossing: a={1/2,2}
grootste rc=2
raaklijn y=2x-4

(x-p)²+(y-q)²=r²
x²-2px +y²-2qy =r²-p²-q²
x²+y²-10x-2y= -21
2p=10 p=5 2q=2 q=1
M(p,q)=M(5,1)
r²-p²-q²=-21
r²=p²+q²-21
r²=25+1-21=5
r=√5

[tempelier]

Het gaat ook via de raaklijn.

Laat B(b1 , b2) een pool van de cirkel zijn dan is de vergl. V1 van de poollijn

V1:=x*b1+y*b2-5*x-5*b1-y-b2+21=0;

Laat A hierop liggen dan volgt na substitutie:

V2 := 25-5*b2-5*b1 = 0

Wat weer geeft: b2=5-b1 dus B(b1 , 5-b1)

Er wordt nu geëist dat B op de cirkel ligt dus moet gelden:

V3 := b1²+(5-b1)²-8*b1+11 = 0

Oplossen naar b1 geeft b1=3 of b1=6 (deze wordt niet gevraagd)

Dus: de vergelijking van de raaklijn wordt: -2*x+y+4 = 0

OPM.

Het is een algebraïsche oplossing zoals gevraagd.
Maar vermoedelijk is de gebruikte eigenschap nog niet behandeld.
Maar wou het toch even laten zien.

[tempelier]

Ter aanvulling:

Men kan ook A als pool nemen.

Dat gaat iets sneller, als ik gedaan heb,

[aadkr]

dat klopt tempelier
je kunt ook rekenen met de poolA(0,-4) en de vergelijking van de poollijn.
vergelijking van de poollijn is
(0-5).(x-5)+(-4-1).(y-1)=5