Arbeid

[wnvl1]

Mijn Euler Lagrange vergelijkingen waren fout, het moeten totale afgeleiden naar x zijn geen partiële.

$$\frac{\partial L}{\partial q_1} = \frac{d}{dx} \frac{\partial L }{\partial q_1^{\prime}} $$

en

$$\frac{\partial L}{\partial q_2} = \frac{d}{dx} \frac{\partial L }{\partial q_2^{\prime}} $$

[wnvl1]

Ik kom dan uit op

$$110xq_1 + 110xq_1q_1^\prime=\frac{d}{dx}(28x^3+55xq_1^2)=84x^2+55q_1^2+110xq_1q_1^\prime$$

en

$$10q_2 + 10q_2^\prime=\frac{d}{dx}(10q_2)=10q_2^\prime$$

Maar dan kom ik nog altijd maar aan 2 integratieconstanten en ik heb er 4 nodig.

[wnvl1]

Ik maakte mij ook de bedenking dat je het raadsel kan herformuleren als

Een deeltje ondervindt een kracht F met de componenten:
Fx=28x3+55xy2+10z
Fy=28x3+55xy2
Fz=10z

Wat is de minimale arbeid verricht door het krachtveld om een deeltje te verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (x0,y0,z0)=(10,26,15)
De lengte van het pad is 20.

Je komt dan aan een L die er als volgt uitziet, maar lost dat het probleem van de ontbrekende integratieconstanten op?

$$L(x, q_1, q_2, q_1^{\prime}, q_2^{\prime}, \lambda) = 28x^3+55xq_1^2+10q_2 + (28x^3+55xq_1^2) q_1^{\prime} +10q_2 q_2^{\prime}+\lambda \sqrt{1+q_1^{\prime 2}+q_2^{\prime 2}}$$

[wnvl1]

Ik denk het wel, want we krijgen dan in onze Lagrangevergelijking een tweede afgeleide, dus twee integratieconstanten per Lagrangevergelijking en dus vier in totaal en dat correspondeert met de 4 randvoorwaarden.
ALs je de padlengte dus vastlegt, lijkt het mij een mooi raadsel met een goed gedefinieerde uitkomst.

Nu nog oplossen...

[ukster]

Ik heb het gewijzigd probleem voorgelegd aan Chatgpt.
antwoord: De minimale arbeid door de kracht F verricht terwijl het deeltje zich kromlijnig verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (10,26,15) langs een pad met een lengte van 40, is ongeveer -11892,841 Joule

Zou Chatgpt het correcte antwoord hebben gegeven? dat zou toch wat zijn zeg.

[Xilvo]

Ik maakte mij ook de bedenking dat je het raadsel kan herformuleren als

Een deeltje ondervindt een kracht F met de componenten:
Fx=28x3+55xy2+10z
Fy=28x3+55xy2
Fz=10z

Wat is de minimale arbeid verricht door het krachtveld om een deeltje te verplaatst vanuit de oorsprong naar het punt (x0,y0,z0)=(10,26,15)
De lengte van het pad is 20.

Wat bedoel je hier met de lengte van het pad? In een rechte lijn is het al 31,64...

[wnvl1]

Ik had alleen maar snel naar de x coördinaat gekeken. Beter 40 van maken zoals ukster al had gedaan.

[Xilvo]

Als ik het traject in twee rechte lijnen opsplits, door de z-waarde halverwege naar -5,7 te brengen (de projectie op het x-y-vlak blijft recht), dan zakt de totale arbeid een heel, heel klein beetje. De padlengte is dan 40.

Dat ChatGPT de arbeid negatief zou krijgen neem ik voorlopig met een grote korrel zout. Ik weet uit ervaring dat het een zeer onbetrouwbaar sujet is.

[wnvl1]

Ik kom dan op

$$110xq_1 + 110xq_1q_1^\prime=\frac{d}{dx}(28x^3+55xq_1^2+\frac{\lambda q_1^\prime}{\sqrt{1+q_1^{\prime2}+q_2^{\prime2}}})$$

en

$$10q_2 + 10q_2^\prime=\frac{d}{dx}(10q_2+\frac{\lambda q_2^\prime}{ \sqrt{1+q_1^{\prime2}+q_2^{\prime2}}} )$$

en dan \(\lambda\) elimineren uit

$$\int_0^{10} \sqrt{1+q_1^{\prime 2}+q_2^{\prime 2}} dx = 40$$

Randvoorwaarden zijn

\(q_1(0)=0\)
\(q_2(0)=0\)
\(q_1(10)=26\)
\(q_2(10)=15\)


Het aantal vrije parameters klopt nu wel, maar hoe je dat stelsel van differentiaalvergelijkingen oplost, zal chatgpt mij eens moeten uitleggen.