[wiskunde] Ik snap niet het idee van: 'Lineaire afbeeldingen van R2 naar R2'

[flappelap]

Stel dat je een deeltje beschrijft met de tweede wet van Newton, en iemand anders roteert zijn assenstelsel en wil daarna de baan van dat deeltje ook beschrijven. Dat doe je met zo'n rotatiematrix.

[Xilvo]

Of stel dat je een foto in een fotobewerkingsprogramma wil draaien, bijvoorbeeld omdat de horizon niet horizontaal loopt.
Dan wordt de plaats waar iedere pixel naartoe moet worden verplaatst berekend met zo'n rotatiematrix.

Of je wil het plaatje groter maken, of kleiner. Dan doe je het met een matrix die de afbeelding vergroot of verkleint,

[Luc4s]

Aha, dus het wordt meer gebruikt om dingen zoals pixels te verplaatsen? Om zo bijvoorbeeld dingen te laten bewegen zoals games? (in mijn boek zie ik een plaatje van een game bij dit hoofdstuk).

[Xilvo]

Aha, dus het wordt meer gebruikt om dingen zoals pixels te verplaatsen? Om zo bijvoorbeeld dingen te laten bewegen zoals games? (in mijn boek zie ik een plaatje van een game bij dit hoofdstuk).

Gameprogramma's doen niet anders. Alles wat beweegt, draait en groter, kleiner of uitgerekt wordt gebeurt zo.
Dan in drie dimensies waar uiteindelijk weer een projectie van wordt gemaakt om het plaatje op het beeldscherm te krijgen.

[Luc4s]

Ooh en dat van die driedimensionale game naar mijn tweedimensionale beeldscherm is dus R3 naar R2? (geen idee wat ik zeg, maar een paragraaf heet zo).

[Xilvo]

Ooh en dat van die driedimensionale game naar mijn tweedimensionale beeldscherm is dus R3 naar R2? (geen idee wat ik zeg, maar een paragraaf heet zo).

Ja. Als je (in twee dimensies) punten vermenigvuldigt met
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
dan komen alle punten op de x-as te liggen. Je hebt een projectie van de oorspronkelijke punten op de x-as.
In dit geval dus R2 naar R1.

[HansH]

Wat ik moeilijk vindt is dat ik niet helemaal begrijp waarom dit allemaal gebeurd. Ik kan me gewoon niet echt voorstellen wat het nut is van dat je een vector vermenigvuldigd met een matrix van 2 bij 2 en dat het betekenis heeft.

Ook worden er in de uitwerkingen tekeningen gemaakt waarbij ze heel precies kunnen aangeven op welk punt iets terecht komt. Maar dit inzicht heb ik helemaal niet. Ik heb geen idee hoe je op bijvoorbeeld (...... ; sqrt(2)) uit komt op het moment dat je een vector 45 graden linksom draait (bij wijs van spreken).

waarom dit allemaal gebeurd en wat het nut is en dat het betekenis heeft.
dat zijn 2 verschillende dingen de je nu zegt.

waarom dit allemaal gebeurd:
daar kom je achter door er wat mee te spelen en dan krijg je er gevoel voor. daarom is die Excel die ik had gegeven misschien handig.

wat het nut is en dat het betekenis heeft:
als je bv kijkt naar computergames en 3d ontwerpsoftware dan zit dat vol met deze afbeeldingen en dan ook nog in 3d. dus met een 3x3 matix en vectoren met x,y,z coordinaten. Daardoor kun je dingen roteren verplaatsen, uitrekken etc. en spiegelen. Daar worden miljoenen van deze afbeeldings berekeningen gedaan per seconde. en ook nog afbeeldingen van 3d naar 2d bv projectie van 3d punten via een lijn van het punt naar jouw oog en plot dat punt dan op het vlak op de juiste coordinaat van je beeldscherm. met 3d bril wordt voor je linker en rechteroog het beeld uitgerekend (en die 2 beelden liggen net wat anders omdat je ogen iets uit elkaar liggen) pixel voor pixel en dan zie je dus 3d met een virtual reality bril.

[Luc4s]

Je kunt een punt over een hoek \(\alpha\) om de oorsprong roteren door vermenigvuldigen met de matrix
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\)

Je vermenigvuldigt een punt met een factor \(f\) (maakt de vector vanuit de oorsprong met die factor langer) door vermenigvuldigen met
\(\begin{bmatrix} f & 0 \\ 0 & f \end{bmatrix}\)

Kom er hiermee uit?

Trouwens, in dit bericht had u mij dit aangeleerd. Het bleek enorm handig te zijn en hierdoor hoefde ik ook niet meer in te beelden waar het beeld ongeveer zou moeten komen. Maar bestaat er ook zoiets voor R3 naar R3? Ik heb nu het zelfde probleem als dat ik had bij R2 naar R2. In al die uitlegvideo's tekenen ze het uit, alleen wordt dat soms lastig.

[Luc4s]

waarom dit allemaal gebeurd:
daar kom je achter door er wat mee te spelen en dan krijg je er gevoel voor. daarom is die Excel die ik had gegeven misschien handig.

Welke waarden moet ik in het excel bestand allemaal veranderen. En telkens dat ik een waarde verander; moet ik dan de grafiek opnieuw plotten?

[Xilvo]

Maar bestaat er ook zoiets voor R3 naar R3? Ik heb nu het zelfde probleem als dat ik had bij R2 naar R2. In al die uitlegvideo's tekenen ze het uit, alleen wordt dat soms lastig.

Ja, bijvoorbeeld in 3D om de z-as draaien doe je met:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
De 1 rechtsonder betekent dat de z-waarde ongewijzigd blijft.

Om de y-as:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{bmatrix}\)
Hier blijft de y-waarde hetzelfde.

Voor meer en algemenere gevallen, zie Wikipedia.

[Luc4s]

Maar bestaat er ook zoiets voor R3 naar R3? Ik heb nu het zelfde probleem als dat ik had bij R2 naar R2. In al die uitlegvideo's tekenen ze het uit, alleen wordt dat soms lastig.

Ja, bijvoorbeeld in 3D om de z-as draaien doe je met:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
De 1 rechtsonder betekent dat de z-waarde ongewijzigd blijft.

Om de y-as:
\(\begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{bmatrix}\)
Hier blijft de y-waarde hetzelfde.

Voor meer en algemenere gevallen, zie Wikipedia.

HEEL ERG BEDANKT! Ik snap niet waarom mijn boek dit niet even uitlegt. Die geeft een zielig voorbeeldje en we mogen het voor de rest uitzoeken.

[HansH]

hier zie je zo'n procedure in een programmeertaal (pascal) wat ik ooit heb gebruikt
om 3d figuren af te beelden op het 2d scherm en apart het beeld te berekenen voor linker en rechter oog.
voor elke 3d pixel in de ruimte moet je dus de betreffende pixel op het scherm berekenen.
eea staat niet in matrix vorm maar helemaal uitgeschreven;

procedure dried_tweed(var xp,yp,zp:real; var xpixell,xpixelr,ypixel:integer);
const br=31.8; {schermbreedte in cm}
ho=26.6; {schermhoogte in cm}
as=50; {afstand tot het scherm in cm}
oa=4; {oogafstand in cm}
horpixels=720; {hor aantal pixels}
vertpixels=348; {vert aantal pixels}

var xscherml,xschermr,yscherm:real;
begin
xschermr:=0.5*(br+oa)+as/(as+zp)*(xp-(0.5*(br+oa)));
xscherml:=0.5*(br-oa)+as/(as+zp)*(xp-(0.5*(br-oa)));
yscherm:=0.5*ho+as/(as+zp)*(yp-(0.5*ho));
xpixell:=round(xscherml*horpixels/br);
xpixelr:=round(xschermr*horpixels/br);
ypixel:=round(yscherm*vertpixels/ho);
end;

[HansH]

Welke waarden moet ik in het excel bestand allemaal veranderen. En telkens dat ik een waarde verander; moet ik dan de grafiek opnieuw plotten?

die grafiek is gekoppeld aan de punten in de velden. dus zodra je iets verandert gaat de grafiek gelijk vanzelf updaten.
ik heb voor het gemak alleen 1 afbeelding erin gezet: rotatie over een hoek rond de oorsprong.
b1 tm f1 zijn dan de matrix getallen en die worden hier berekend via de sin en cos vanuit veld k1 dus wat je mag veranderen is veld k1 en G1 en H1 (de input=voorwerp) dan zie je in het plaatje de resultaten x1 en y1 geplot (beeld).

linafb2d_simple.xlsx

(57.05 KiB) 4 keer gedownload

[HansH]

HEEL ERG BEDANKT! Ik snap niet waarom mijn boek dit niet even uitlegt. Die geeft een zielig voorbeeldje en we mogen het voor de rest uitzoeken.

Ja daarom vinden veel mensen wiskunde ook niet leuk omdat ze niet te horen krijgen wat je er allemaal mee kunt.
pas als je wat leuke dingetjes in de praktijk ermee kunt doen wordt het veel leuker.
Je leraar kan daar wel wat aan toevoegen als die zich een beetje wil inzetten. Hier op het wetenschapsforum zitten ook van die mensen voor wie het een beetje hobby is dus vandaar dat je daar dingen te zien krijgt die je op school niet ziet.

[HansH]

hier nog een voorbeeldje
elke regel is een rotatieafbeelding waarbij de uitkomtst van de vorige regel van x1,y1 gebruikt wordt als inut voor de nieuwe regel x,y.

linafb2d_simple1.xlsx

(59.07 KiB) 6 keer gedownload

je kunt ook zelf een willkeurige afbeelding maken door de matrix velden (a1,b1,c1,d1,e1,f1) een waarde te geven. daar staan nu sinussen en cosinussen in voor de rotatie. steeds de velden van een hele regel copieren naar een nieuwe regel en je kunt op die regel dan een nieuwe afbeelding definieren (of een oude overschrijven)