In mijn boek wordt het volgende afgeleid met commutatie regels:
\( [L_x,L_y]=[yp_z-zp_y,zp_x-xp_z]=[yp_z,zp_x]-[yp_z,xp_z]-[zp_y,zp_x]+[zp_y,xp_z] \)
Allemaal duidelijk waar het vandaan komt. De hoekmoment operator komt van het kruisproduct tussen het momentum en de plaats, en daarna werken ze het uit omdat alle operatoren distributief zijn ten opzichte van optelling. Maar dan. Nu zou ik heel graag bijvoorbeeld de eerste term
\([yp_z,zp_x]\)
willen uitwerken. Nu heb ik de regel gevonden:
\([A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\)
En nu dacht ik, als ik vervolgens de twee termen rechts van het = teken uitwerk zodat A bijvoorbeeld gelijk zou zijn aan AD, en hetzelfde uithaal met de complementaire regel: \([AB,C]=A[B,C]+[A,C]B\)
dat ik dan uiteindelijk dit zou krijgen: \([AD,BC] = A[D,B]C + [A,B]DC + BA[D,C] + B[A,C]D\)
Hopelijk heb ik geen foutjes gemaakt bij het overtypen van mijn notitieblok. Nu is mijn vraag mag ik dit doen? En als ik dan vervolgens \([yp_z,zp_x]\)
daarin invul, zie ik dat de laatste drie termen commuteren en dus wegvallen en dat je overhoudt: \(y[p_z,z]p_x\)
Wat doe ik dan nu, want die nare operatoren zijn zo notoir slipperig dat ik ze nooit echt goed begrepen heb, en ik wil ze nu eindelijk eens doorkrijgen. Volgens mijn boek zou er uit moeten komen: \([L_x,L_y]=yp_x[p_z,z]+xp_y[z,pz]\)
Die eerste term lijkt heel erg op wat ik hierboven ook gekregen heb, alleen staat mijn commutator tussen de \(y\)
en \(p_y\)
in, kan ik dat zomaar omdraaien, of heb ik een foutje gemaakt? Is er een makkelijkere truc.Alvast bedankt.
