Analytische meetkunde
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 22
Analytische meetkunde
Op een ellips E met brandpunten f, en f' en met middelpunt o neemt men een punt d. Bewijs dat de volgende rechten concurrent zijn: de raaklijn T in d aan
E , de loodlijn uit f op T , de evenwijdige door o met df' .
E , de loodlijn uit f op T , de evenwijdige door o met df' .
-
- Berichten: 237
Re: Analytische meetkunde
Hallo bartverkeyn, een 8-uur wiskunde leerling?
- een ellips heeft als vergelijking x^2/a^2+y^2/b^2=1 met a^2+b^2=c^2 (*1)
-stel parametervergelijking: x=acos(d) en y=bsin(d)
-f'(-c,0) en f(c,0) (je kunt c in functie van a en b schrijven zie (*1))
-punt d ligt op ellips E dus d(acos(d),bsin(d))
-vergelijking raaklijn T door d(acos(d),bsin(d)):
x*acos(d)/a^2+y*bsin(d)/b^2=1 met rico=-b*cos(d)/a*sin(d) (*2)
=> vereenvoudigen=> x*cos(d)/a+y*sin(d)/b=1
de loodlijn uit f(c,0) op E: zie(*2) rico=-1/m= a*sin(d)/b*cos(d)
=> vergelijking: y-y1=m(x-x1) => .... (zelf uitwerken)
-de evenwijdige door o(0,0) met df' :
1) rico df'= y-y1/x-x1 =..... (koppels d en f' zijn bekend)
2) o(0,0)
=> vergelijking: y-y1=m(x-x1)
3 rechten zijn concurrend als:
| u1 v1 w1|
|u2 v2 w2| =0
|u3 v3 w3|
rest is voor jouw
veel succes
- een ellips heeft als vergelijking x^2/a^2+y^2/b^2=1 met a^2+b^2=c^2 (*1)
-stel parametervergelijking: x=acos(d) en y=bsin(d)
-f'(-c,0) en f(c,0) (je kunt c in functie van a en b schrijven zie (*1))
-punt d ligt op ellips E dus d(acos(d),bsin(d))
-vergelijking raaklijn T door d(acos(d),bsin(d)):
x*acos(d)/a^2+y*bsin(d)/b^2=1 met rico=-b*cos(d)/a*sin(d) (*2)
=> vereenvoudigen=> x*cos(d)/a+y*sin(d)/b=1
de loodlijn uit f(c,0) op E: zie(*2) rico=-1/m= a*sin(d)/b*cos(d)
=> vergelijking: y-y1=m(x-x1) => .... (zelf uitwerken)
-de evenwijdige door o(0,0) met df' :
1) rico df'= y-y1/x-x1 =..... (koppels d en f' zijn bekend)
2) o(0,0)
=> vergelijking: y-y1=m(x-x1)
3 rechten zijn concurrend als:
| u1 v1 w1|
|u2 v2 w2| =0
|u3 v3 w3|
rest is voor jouw
veel succes
The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq
Re: Analytische meetkunde
Heb je een goede tekening?
Je snijdt de lijn T met de lijn door o evenwijdig df', noem het snijpunt s.
Noem m het snijpunt van os met fd.
De hoeken f'dT en osT zijn gelijk door evenwijdigheid.
De hoeken f'dT- en fds zijn eveneens gelijk (spiegeleigenschap),dus in driehoek dsm is dm=sm.
Trek de lijn L door f en s en daarmee evenwijdig de lijn L' door d.
Uit de evenwijdigheid van L en L' volgt nu:
hoek fso= hoek L'df'
hoek sfd= hoek fdL'.
De lijn os deelt fd in m middendoor wegens evenwijdigheid van os en f'd en het feit dat o het midden is van ff'.
Bekijk nu driehoek fsd, dan is dm=sm (!) en dm=fm, zodat sm=fm en dientengevolge hoek sfm= hoek fsm (gelijkbenige driehoek)
Dan is (zie boven) hoek sfd= hoek L'df', maar dan is L' loodlijn op T en dus ook L (dwz fs) loodlijn op T.
Dus de lijn T, de lijn os evenwijdig f'd en de lijn L zijn concurrent.
Je snijdt de lijn T met de lijn door o evenwijdig df', noem het snijpunt s.
Noem m het snijpunt van os met fd.
De hoeken f'dT en osT zijn gelijk door evenwijdigheid.
De hoeken f'dT- en fds zijn eveneens gelijk (spiegeleigenschap),dus in driehoek dsm is dm=sm.
Trek de lijn L door f en s en daarmee evenwijdig de lijn L' door d.
Uit de evenwijdigheid van L en L' volgt nu:
hoek fso= hoek L'df'
hoek sfd= hoek fdL'.
De lijn os deelt fd in m middendoor wegens evenwijdigheid van os en f'd en het feit dat o het midden is van ff'.
Bekijk nu driehoek fsd, dan is dm=sm (!) en dm=fm, zodat sm=fm en dientengevolge hoek sfm= hoek fsm (gelijkbenige driehoek)
Dan is (zie boven) hoek sfd= hoek L'df', maar dan is L' loodlijn op T en dus ook L (dwz fs) loodlijn op T.
Dus de lijn T, de lijn os evenwijdig f'd en de lijn L zijn concurrent.