Van formule (2) naar c(r)
Moderator: physicalattraction
- Berichten: 7.463
Van formule (2) naar c(r)
Dit topic vormt een vervolg op het topic: viewtopic.php?f=66&t=210971
En het is net als het bovenvermelde topic afgesplitst van het topic: viewtopic.php?f=66&t=206237
De bedoeling is om hier te bewijzen dat de formule voor c(r) uit formule (2) volgt. Waarbij:
Bron: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
En het is net als het bovenvermelde topic afgesplitst van het topic: viewtopic.php?f=66&t=206237
De bedoeling is om hier te bewijzen dat de formule voor c(r) uit formule (2) volgt. Waarbij:
Bron: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
- Berichten: 7.463
Re: Van formule (2) naar c(r)
De lichtstraal beweegt zich in het xy-vlak dus z = dz = 0. Omdat het licht betreft hebben we ook dτ = 0. Tenslotte is voor een geringe lichtbuiging (dy)2 verwaarloosbaar ten opzichte van (dx)2 en is ydy verwaarloosbaar ten opzichte van xdx. Formule (2) vereenvoudigt dan tot:
\(\)
\( 0 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 - (\mathrm{d}x)^2 - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } (x \mathrm{d}x )^2 \)
- Berichten: 7.463
Re: Van formule (2) naar c(r)
\( 0 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 - (\mathrm{d}x)^2 - \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } (x \mathrm{d}x )^2 \)
\(\)
\( (\mathrm{d}x)^2 + \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } (x \mathrm{d}x )^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)
\(\)
\( (1 + \frac{1}{r^2} \frac{2 \mathrm{m}}{r - 2 \mathrm{m} } x^2 ) (\mathrm{d}x)^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)
\(\)
\( (1 + \frac{x^2}{r^2} \frac{\frac{2 \mathrm{m}}{r}}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} ) (\mathrm{d}x)^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)
\(\)
\( \left (1 + \frac{2 \mathrm{m}}{r} \frac{x^2}{r^2} \frac{1}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \right ) (\mathrm{d}x)^2 = ( 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} ) (\mathrm{d}t)^2 \)
\(\)
\( \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{ 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} }{ 1 + \frac{2 \mathrm{m}}{r} \frac{x^2}{r^2} \left ( \frac{1}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \right ) } \)
\(\)
\( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \sqrt{\frac{ 1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r} }{ 1 + \frac{2 \mathrm{m}}{r} \frac{x^2}{r^2} \left ( \frac{1}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} \right ) } } \)
(Waarbij we er vanuit gaan dat het licht in de richting van de positieve x-as beweegt.)
-
- Berichten: 4.047
Re: Van formule (2) naar c(r)
Mooi overzichtelijk afgeleid. Dit geeft ook mooi de maner van denken weer bij het oplossen. voor licht is dus (dtau)^2 =0
- Berichten: 7.463
Re: Van formule (2) naar c(r)
Eigenlijk geldt voor licht (ds)2 = 0, maar omdat voor (ds)2 > 0 geldt dat ds = cdτ ligt het voor de hand om voor licht dτ=0 te schrijven.