Je wilt deze functies vergelijken:
\(y_1=\frac{k_1x}{x+k_2}\)
en
\(y_2=c_1\log(x) + c_2\)
Het verloop wordt bepaald door de afgeleides
\(\frac{dy_1}{dx}=\frac{k_1k_2}{(x+k_2)^2}\)
\(\frac{dy_2}{dx}=\frac{c_1}{x\ln(10)}\)
Om ze makkelijker te kunnen vergelijken gebruik ik de reciproken van de afgeleiden, z
1 en z
2
\(z_1=\frac{1}{k_1k_2}{(x+k_2)^2}\)
\(z_2=\frac{\ln(10)}{c_1}x\)
Dit zijn dus de omgekeerde van de helling, lagere waarde betekent een steilere grafiek!
z
1 is een parabool waarvan de waarde steeds sterker toeneemt naarmate x groter wordt (x>=0, k
2>0)
z
2 is een rechte lijn.
Er is maar een beperkt gebied waarbij de hellingen
ongeveer dezelfde waardes hebben en het verloop dus
ongeveer overeenkomt.
Je kunt de tweede natuurlijk altijd t.o.v. de eerste in verticale richting verschuiven door c
2 te veranderen; die komt in de (omgekeerde) afgeleide niet voor.
Hieronder het verloop van de functies en van z (originele functie in blauw, de benadering met de logaritme in rood).
k
1=5,5
k
2=2
c
1=2,6
c
2=2