Recursie
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 7.072
Re: Recursie
kotje schreef:Los op:
\(a_n=2(a_{n-1}-a_{n-2})\mbox{ }n\geq2\mbox{ , }a_0=1\mbox{ , }a_1=2\)
\(a_{4k} = (-4)^k\)
\(a_{4k+1} = a_{4k+2} = 2 \cdot (-4)^k\)
\(a_{4k+3} = 0\)
Waarom deze opmerking?Maak eventueel de oplossingen reëel.
- Berichten: 3.330
Re: Recursie
Ik vul in
Ik krijg een vkv met toegevoegde complexe wortels.
\(a_n=cr^n\)
.Ik krijg een vkv met toegevoegde complexe wortels.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.072
Re: Recursie
Edit: zou je hier je uitwerking willen laten zien?kotje schreef:Ik vul in\(a_n=cr^n\).
Ik krijg een vkv met toegevoegde complexe wortels.
- Berichten: 5.679
Re: Recursie
Dat lijkt me geen mogelijke oplossing (ongeacht of je complexe oplossingen toestaat of niet).Ik vul in\(a_n=cr^n\).
Uit
\(a_0=c\cdot r^0=1\)
volgt \(c=1\)
, en uit \(a_1=1\cdot r^1 = 2\)
volgt dan \(r=2\)
, en daaruit zou volgen dat \(a_2=1\cdot2^2=4\)
maar dat kan niet, want \(a_2=2\)
.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.072
Re: Recursie
Ik had de hoop dat ie dit zelf ging ontdekken...Dat lijkt me geen mogelijke oplossing (ongeacht of je complexe oplossingen toestaat of niet).
- Berichten: 3.330
Re: Recursie
Karakteristieke vgl:
r²-2r+2=0 nulpunten 1 i
Algemene oplossing is:
r²-2r+2=0 nulpunten 1 i
Algemene oplossing is:
\(a_n=c_1(1+i)^n+c_2(1-i)^n\)
waarbij de constanten complex kunnen zijn. Nu ze nog bepalen met de beginvoorwaarden?Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.072
Re: Recursie
Ik zou zeggen: ga je gang.Nu ze nog bepalen met de beginvoorwaarden?
- Berichten: 3.330
Re: Recursie
kotje schreef:Karakteristieke vgl:
r²-2r+2=0 nulpunten 1 i
Algemene oplossing is:
\(a_n=c_1(1+i)^n+c_2(1-i)^n\)waarbij de constanten complex kunnen zijn. Nu ze nog bepalen met de beginvoorwaarden?
\(1+i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(1-i=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})-i\sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(a_n=(\sqrt{2})^n(k_1\cos(\frac{n\pi}{4})+k_2\sin(\frac{n\pi}{4}))\)
\(k_1=c_1+c_2\mbox{ en } k_2=(c_1-c_2)i\)
\(1=a_0=k_1\)
\(2=a_1=1+k_2\mbox{ dus }k_2=1\)
De algemene oplossing is dus:\(a_n=(\sqrt{2})^n(\cos(\frac{n\pi}{4})+\sin(\frac{n\pi}{4}))\)
EvilBro schreef:Ik hoop dat er geen opmerkingen zijn. Er is nog één vraag: Waarom zijn de oplossingen reëel, alhoewel c1 en c2 complex zijn?Ik zou zeggen: ga je gang.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.072
Re: Recursie
Ik heb wel een opmerking: je hebt gelijk. Ik zal wel ergens een rekenfout gemaakt hebben want ik kreeg conflicterende uitkomsten voor de c's en dacht daardoor dat het niet kon.Ik hoop dat er geen opmerkingen zijn.