Draait de aarde onder me door?

[E.Desart]

Als je onderaan begint met het invullen van de gegevens van de aarde, de hoogte van de sprong h en de breedtegraad φ_B van het beginpunt van de sprong, kan je stap voor stap de gevonden resultaten in de daarboven gelegen formules invullen totdat je uiteindelijk bovenaan bij de afwijking d eindigt.

Als ik tijd vind kan ik hier een Excel functie van maken.

Maar kan jij nu eens één voorbeeld geven met startmaten en de resultaten.

Als je dit kan doen op basis van vertrekwaarden op de deelformules van je laatste schema hebben anderen minstens een check.

Jij vermeldt wel al de berichtjes waar HONDERDEN formules (met alle tussenstapjes van je vereenvoudigingen) in staan, en ik gun jou echt een "medaille voor moed en zelfopoffering", maar ik bijvoorbeeld heb geen behoefte aan dergelijke medaille ( of ik zou ze moeten krijgen zonder er iets voor te doen).

Eens dat zo'n formule een functie wordt ziet dat er héééééééél simpel uit en kan je experimenteren met andere willekeurige waarden en wordt het zelfs een lachertje om de invloed van het aantal decimalen te zien (wordt gewoon een input variabele).

Als gewone functie ben je beperkt tot de 15 significante digits van Excel, maar het is relatief eenvoudig (nadruk op relatief) deze functie ook op te bouwen dat die intern werkt met de Excel Add-in (voor degene die de moeite willen doen om deze te installeren (wat niets inhoud)) waardoor deze interne nauwkeurigheid instelbaar wordt tot 250 decimalen.

Ik heb de links voor deze Add-In in een van je topics geplaatst.

Zijn die Breedtegraden een waarde tussen 0 en 90°. Zijn all jouw graden in jouw formules graden of ook ergens radialen?

Zijn hier maten waar we de eenheden moeten van kennen? Meters, mm, wat ook?

Verwacht niet van anderen dat zij heel dat topic terug gaan uitzoeken. Jij sprak veel over "Wij dit", en "Wij dat" en nu "weten we", maar ik vroeg mij soms af wie die "wij" waren ......

Niets van dit alles is slecht bedoeld. Ik voel hoofdzakelijk verbazing (en inderdaad bewondering voor jouw doorzettingsvermogen) bij het zien van dit topic, en ik ga zeker nooit 100 m hoog springen. Veel te veel werk om te weten waar ik terug neer kom.

[Bartjes]

@ E.Desart

Het praktisch nut van mijn afleiding is waarschijnlijk nul. Zulke ondernemingen fascineren mij. Zodra iets praktisch nut krijgt gaan de knappe koppen en het grote geld zich ermee bemoeien. Dan is het gedaan met de gestage en rustige opbouw van theorieën en formules. Ik mis bovendien de intelligentie en snelheid van werken om met de grote jongens te concurreren. Ik slijp en polijst graag aan mijn teksten tot ze geheel naar mijn zin zijn. Ik geniet van de esthetiek van formules, van het ritme van afleidingen, van het uitdijen en weer inkrimpen en van de naar vaste patronen rond dansende tekens. Hoe wonderlijk ook wanneer een duister probleem door een plotselinge inval verlicht wordt...

- on topic graag!

OK - Ik zal berekeningen maken, en plaatsen.

[Bartjes]

Zijn die Breedtegraden een waarde tussen 0 en 90°. Zijn all jouw graden in jouw formules graden of ook ergens radialen?

Zijn hier maten waar we de eenheden moeten van kennen? Meters, mm, wat ook?

Het is al laat, maar de bovenstaande vraag kan ik alvast beantwoorden.

- Alle hoeken zijn in radialen.

- De constante

\( N_{\oplus} \)

is dimensieloos (de eenheden vallen daarin tegen elkaar weg).

- De waarde H is eveneens dimensieloos (R en h moeten dus in de zelfde lengtemaat uitgedrukt worden).

- Pas helemaal bovenin het Formule-Schema keert er voor d via de factor R weer een lengte-eenheid terug.

(Het makkelijkste is het overal te werken met de bekende standaardeenheden of combinaties daarvan.)

In de loop van de afleidingen zijn bepaalde veronderstellingen gemaakt die hun weerslag hebben op de grenzen waarbinnen de waarden van h en φ_B moeten liggen. Ik moet nog bewijzen wat (in elk geval) veilige grenzen voor h en φ_B zijn, waarbinnen de formules dus zeker gebruikt mogen worden.

[Bartjes]

Wat ik al heb uitgerekend is de afwijking d bij een sprong van 100 m hoogte ter plaatse van Amsterdam. Ik heb daarbij het al eerder vermelde rekenprogrammatje gebruikt. Eerst heb ik dat ingesteld op een precisie van 200, vervolgens op een precisie van 300. Hieronder publiceer ik de "kladjes" die ik daarvan voor mijzelf heb bijgehouden.

Zie bericht #166 voor de benodigde aardse en fysische constanten. Hoewel ik dat niet meer terug kan vinden, ziet het er naar uit dat ik voor de berekening met de gemiddelde straal van de aarde R_gem heb gewerkt.

precision = 200

Amsterdam: φ_B = 0.9076 rad

h = 100 m

\(N_{\oplus}\)

= 289.8730466878130247321080872757406845417

H = 1.000015696123057604771621409511850572908491602574164181447182545911159943493956

992622822162925757337937529430230733008946790142834719824203421754826557840213467

2735834248940511693611677915554857950086

Q = 7.926135128610357631870188356758373363140012945234096257331327263206233741396296

761068112938003451117666285751335974971870534360259080536526276742658419763946854

5602236239383345535238291012459925372695 E-3

ε = 9.986925132432565484810957297192538378943142212288602102034291760266547606176523

761659916396646312201456193082093517409956294903374042716576605331915374345025916

9536281445360997139437168281083657944944 E-1

S = 2.078678523038045576444577217802878995380345744931721516776983653624710480242156

144701485721169454116809844306815859034109663739272473826057525502345552128111938

8880366885603393535131277109137402102762 E-2

Φ = 5.260703175417190286423799455887619420425787474192195719823718953742911264508931

963566161895751797624421710438834982289131311555887278255898058169554670517317486

2729459233102540937126062917735615063688 E-8

Λ = 6.921172010476421309782209056476996538636384489915885283632239731124779333722730

839183150761109961349541690870051603318552754858098003781269903763873700601320422

9028816255070121566627603052403311170402 E-9

U = 9.999999178026367594352423492570109164999746491154285133342275452558450594539332

783092241692707066997076811995500098955012405862243048810593242220338982954887294

4237766764738459264363683884449037135549 E-1

V = 6.586080847709792277856696222985333003289903380603048506090964982532995201743820

032875020232359286251228050540899040095296690336509215072101257990769687756065439

4629976211793336404475606695420032469437 E-4

W = 5.277930862352025319233018588402472818568120268578821791264274944131552576454842

959951289660975845779190705210538399804984394519849664435843545226639163592087625

9266797248260340221313097811232577043279 E-8

d = 0.672513950480895378408692955217543719622275505158445654233394556595053657541437

642927529770133530078416421638151502615641099151700530974245188646072176987548554

63250137727346742815226972983556000524929 m

precision = 300

Amsterdam: φ_B = 0.9076 rad

h = 100 m

\(N_{\oplus}\)

= 289.8730466878130247321080872757406845417

H = 1.000015696123057604771621409511850572908491602574164181447182545911159943493956

992622822162925757337937529430230733008946790142834719824203421754826557840213467

273583424894051169361167791555485795008632867681682624391775231517815099670381415

79029979595040025113796892167634594255218960916653586564119

Q = 0.007926135128610357631870188356758373363140012945234096257331327263206233741396

296761068112938003451117666285751335974971870534360259080536526276742658419763946

854560223623938334553523829101245992545567900937509368868746207459740448161179504

05977737599201158550441144577791086997987742327250056060223723

ε = 0.998692513243256548481095729719253837894314221228860210203429176026654760617652

376165991639664631220145619308209351740995629490337404271657660533191537434502591

695362814453609971394371682810836579449443690121026010071879340508831122820889447

914245843112267289401275010976251844760326117395479575965481

S = 0.020786785230380455764445772178028789953803457449317215167769836536247104802421

561447014857211694541168098443068158590341096637392724738260575255023455521281119

388880366885603393535131277109137402102763122193994183339454196143524538699626200

6347624761352346511533016914979062862153720748917210822362264

Φ = 0.000000052607031754171902864237994558876194204257874741921957198237189537429112

645089319635661618957517976244217104388349822891313115558872782558980581695546705

173174862729459233102540937126062917735612238763532885534845315612777497643969064

3772648317350631548998417173480819649779531768407889219286162115579

Λ = 0.000000006873561524547541602234640431119176004660581603837057983216446535769726

939950098039855115659866882310179266423888039725656909905560750536492451499869015

623974517433398587199485739796783603267216185749903896392790426654513318931271147

38176062896918120108734310719587834386893073877213112417208398065378

U = 0.999999917802636759435242349257010916499974649115428513334227545255845059453933

278309224169270706699707681199550009895501240586224304881059324222033898295488729

442377667647384592643636838844490371355494413883777632026494987367769082407316488

5253847255745286657234314137852656609214785482581016353738

V = 0.000658608084770979227785669622298533300328990338060304850609096498253299520174

382003287502023235928625122805054089904009529669033650921507210125799076968775606

543946299762117933364044756066954200325383958172267402652605782969015513589370316

109360863178774782568313412080538022724268048595269746013553869

W = 0.000000052776950405526768675606629881210140493266252020291736723257661266046772

344423937238784644079005901608293200503908395557223000008532698054696155262415717

084153959272167478607983061852987922033493227285957070448148558644118465186926647

939239167605991463009822403670922991533147898191072498757601251765

d = 0.672483902067222398654751011404573809562300667279673146826734853148082119022323

780178644330089558906709661807528795567541503173161822306881080541278691932587917

690200915977767290954807490869543314524164567977671206314683434238509571353339598

857704636271636750658466231861983635866800594506794503897116 m

Wanneer mensen dat na willen rekenen, heel graag! Ook berekeningen voor andere situaties zijn welkom.

[In physics I trust]

Kleine bedenking; zal de fout ten gevolge van het rekenen met de gemiddelde aardstraal geen fout opleveren die minstens even groot is als het fenomeen dat we beschouwen?

Zodat de waarde van al die decimalen weinig voorstelt?

Immers, je verwaarloost de aardafplatting, maar is dat ook geoorloofd? Immers, verwaarlozen doe je ten opzichte van iets, toch? Wat is dan dat iets in dit geval?

[E.Desart]

Zodat de waarde van al die decimalen weinig voorstelt?

Immers, je verwaarloost de aardafplatting, maar is dat ook geoorloofd? Immers, verwaarlozen doe je ten opzichte van iets, toch? Wat is dan dat iets in dit geval?

Het gaat hier meer om principiële berekeningen. Het is inderdaad belangrijk om te weten in hoever het aantal decimalen hier wel of niet van invloed kan zijn.

Hoe nauwkeurig je kan rekening houden met alle beïnvloedende parameters in functie van een absolute nauwkeurigheid is een andere zaak.

Het is om die reden dat Bartjes ook zoekt en vraagt om waarden om zijn benadering aan te toetsen. Dit is vermoedelijk geen gemakkelijke zaak om te vinden.

In mijn vakgebied (geluid) zitten we ook met PAKKEN formules. Al deze formules gaan uit van gestileerde randcondities.

Dit maakt dergelijke formules niet zinloos omdat je begrip krijgt van een aantal belangrijke parameters.

We weten echter dat 1001 beïnvloedende en moeilijk te quantificeren factoren beperkend zijn op de absolute nauwkeurigheid van het resultaat. We rekenen, rekenen en simuleren en op het einde (bijkomend) beslissen we op basis van wat onze buik en getraind instinct ons vertelt.

Het probleem zit niet in het oplossen van vragen die je kent, maar in de vragen waarvan je niet of amper weet dat het vragen zijn.

[Bartjes]

Kleine bedenking; zal de fout ten gevolge van het rekenen met de gemiddelde aardstraal geen fout opleveren die minstens even groot is als het fenomeen dat we beschouwen?

Zodat de waarde van al die decimalen weinig voorstelt?

Immers, je verwaarloost de aardafplatting, maar is dat ook geoorloofd? Immers, verwaarlozen doe je ten opzichte van iets, toch? Wat is dan dat iets in dit geval?

Het antwoord op je vraag is in hoofdzaak al door E.Desart gegeven. Als aanvulling nog dit:

Het is essentieel dat we hier idealiseringen toepassen. Je ziet wat een werk het al oplevert in het sterk vereenvoudigde geval dat we hier bekijken. Ik moet er niet aan denken wat voor formules je krijgt als je de aarde als een afgeplatte bol beschouwt, de luchtwrijving mee rekent, etc. Wat we dus doen is één effect per keer bekijken. De afwijking tussen de punten van afzetten en neerkomen gemeten op een draaiende aarde komt door het draaien van die aarde, en niet door de afplatting van de aarde, de luchtwrijving, etc. Dit effect kan daarom theoretisch en in geïdealiseerde vorm worden onderzocht onder de veronderstelling dat de aarde een perfecte bol is. Of de geïdealiseerde aarde ietsjes groter of kleiner dan de werkelijke aarde is, maakt voor het effect niet uit. De verwaarlozing van de andere effecten wordt hier dus niet gemaakt omdat het zeker is dat deze andere effecten veel kleiner zijn, maar omdat de zaak anders menselijkerwijs niet meer te behappen is. Het grote aantal decimalen is nodig om rekentechnische redenen. In de berekening werken we regelmatig met getallen die ofwel zeer klein zijn ofwel zeer weinig van één afwijken, maar toch beslist niet op nul of één mogen worden afgerond. Ik heb het ook wel met een bescheiden aantal decimalen geprobeerd, maar dat leverde onzinnige uitkomsten op. De uitkomsten bleken pas bij zéér veel decimalen te stabiliseren.

Na er nog eens over nagedacht te hebben, lijkt mij een toetsing van de formule aan waarden uit de praktijk inderdaad al weer een stuk lastiger.

[E.Desart]

Na er nog eens over nagedacht te hebben, lijkt mij een toetsing van de formule aan waarden uit de praktijk inderdaad al weer een stuk lastiger.

Dit vind ik nu echt een lieve en echte reactie. Niet teveel bij stil staan of je houdt er een depressie aan over.

[Bartjes]

](*,) Dit vind ik nu echt een lieve en echte reactie. Niet teveel bij stil staan of je houdt er een depressie aan over.

Ik zit nu wel met een probleem. Ik kan nieuwe afwijkingen wel gaan uitrekenen, maar als die nergens aan kunnen worden getoetst heeft dat niet veel zin. Je zou toch zeggen dat een "eenvoudig" geval als de totale afwijking van een honderd meter omhoog geschoten en weer neervallende kogel ergens in leerboeken moet zijn terug te vinden. (Al was het maar als een benaderde uitkomst.) Maar tot nu toe heb ik alleen beschouwingen over de daarbij optredende westelijke afwijking gevonden. De zuidelijke afwijking wordt niet uitgerekend.

[E.Desart]

Ik heb dit voorlopig reeds in een Excel spreadsheet gezet. Kwestie van die formules te checken en testen (in feite eerst in een Macro).

Wat mij opvalt is dat met de gewone standaard Excel nauwkeurigheid, het verschil in afwijking op de grond tussen jouw 300 digit precisie en mijn 15 significant digit precisie (is intern iets meer) slechts -0.152544921 mm bedraagt.

Je leest goed: slechts 1/6 à 1/7 mm (geen m).

Je kan hier tussentijds reeds mee spelen.

Alleen de licht gele cellen hoef je in te vullen (tenminste degene die je wil wijzigen). Je overschrijft die gewoon met gelijk welke waarde. Die tekst en formatering wordt automatisch bewaard.

Ziet er zo uit:

[attachment=5780:Berekeni...rtjes002.png]

Berekening_Bartjes.xls

(29 KiB) 124 keer gedownload

Als er namen moeten bijkomen zeg het maar. Sommige symbolen heb ik om praktische redenen lichtjes moeten aanpassen, die Nx met dat symbool van jou is haast nergens te gebruiken (en ik ken Unicode).

Dat blauw bovenaan is een link vanuit Excel naar jouw topic.

Ik kan dat dus nog steeds in een functie verwerken, zowel een gewone als verhoogde precisie. Vraag blijft alleen heeft die verhoogde precisie echt nut (die vraagt een extra Add-In te activeren).

[E.Desart]

Sorry,

Wacht even met downloaden. Ben iets vergeten. Sheet werkt niet zo (een kleinigheid). Stommiteit van mij.

Werkt nu ...............

Berekening_Bartjes.xls

(28.5 KiB) 138 keer gedownload

Met even te proberen met andere hoogtes blijkt wel degelijk dat hogere nauwkeurigheid WEL gewenst is. Die hoogte schijnt nogal invloed te hebben ??????? Eigenlijk weet ik het niet aangezien ik geen vergelijkingspunt heb. In de haast vergeleek ik met jouw constante waarden. Nogal logisch dat ik met andere berekeningen verschillen krijg.

Bartjes test jij eens met je hoge precisie programma?

[E.Desart]

Sorry mensen voor mijn vorige verwarde post.

Ik was hier nog aan het experimenteren tijdens de edit-tijd van mijn post (als check dat er toch zeker geen extra addertje in verscholen zat). Mijn hersens sloegen in een knoop.

[Bartjes]

@ E.Desart

Alvast bedankt. Ik moet zo aan het werk, dus ik kom er pas vanavond op terug.

Bij het ontwaken viel mij het volgende idee in: aangezien de controle van de afleiding en berekeningen in principe door een slimme scholier (met een wiskundeknobbel en deskundige begeleiding) te doen moeten zijn, zou dat misschien een geschikt onderwerp voor een "werkstuk" zijn. Ik zie regelmatig dat er om ideeën gevraagd wordt.

[physicalattraction]

Ik was er ook nog eens over na aan het denken en ik vroeg me af waar die zuidelijke afwijking vandaan komt. Om eerlijk te zijn heb ik geen zin/tijd om alle afleidingen die Bartjes geproduceerd heeft na te lopen, ik geloof best dat hier een zuidelijke afwijking in voorkomt. Maar zoals we in het begin beredeneerd hebben dat er een afwijking naar het westen is, kunnen we ook op soortgelijke manier beredeneren dat er een afwijking naar het zuiden is? In het begin van het topic (bericht 39) wordt er overigens gesuggereerd dat je, doordat je naar het westen verplaatst, je door de coriolis-kracht een afwijking naar het noorden hebt (op het noordelijk halfrond).

Wat vind je trouwens met je methode op de evenaar? Er is namelijk al een antwoord van 33 mm gegeven in het begin van de topic (bericht 8 al). Vind je die ook terug als bijzonder geval in je formuleschema?

[Bartjes]

Ik was er ook nog eens over na aan het denken en ik vroeg me af waar die zuidelijke afwijking vandaan komt. Om eerlijk te zijn heb ik geen zin/tijd om alle afleidingen die Bartjes geproduceerd heeft na te lopen, ik geloof best dat hier een zuidelijke afwijking in voorkomt. Maar zoals we in het begin beredeneerd hebben dat er een afwijking naar het westen is, kunnen we ook op soortgelijke manier beredeneren dat er een afwijking naar het zuiden is? In het begin van het topic (bericht 39) wordt er overigens gesuggereerd dat je, doordat je naar het westen verplaatst, je door de coriolis-kracht een afwijking naar het noorden hebt (op het noordelijk halfrond).

Zie het plaatje in bericht #107. Doordat de springende persoon in het vlak beweegt dat door zijn vectoriële beginsnelheid en het zwaartepunt van de aarde wordt vastgelegd, moet hij op het noordelijk halfrond wel zuidelijker neerkomen. Zie ook deze simulatie:

http://www.cleonis.nl/physics/ejs/ballisti..._simulation.php

De benadering via schijnkrachten in het met de aarde mee draaiende referentiestelsel heb ik niet gebruikt, omdat ik mij bij Keplers Wetten meer op mijn gemak voel. Neemt allemaal niet weg dat een langs andere weg gevonden schatting van de zuidelijke afwijking zeer welkom is! Naar mijn gevoel is de zuidelijke afwijking bij mijn formule wat aan de grote kant, dus ik zou graag weten of ik toch gerust mag zijn of dat er inderdaad naar een fout in mijn afleidingen gespeurd moet worden.

Wat vind je trouwens met je methode op de evenaar? Er is namelijk al een antwoord van 33 mm gegeven in het begin van de topic (bericht 8 al). Vind je die ook terug als bijzonder geval in je formuleschema?

Bij een sprong vanaf de evenaar ligt de evenaar zelf geheel in het sprongvlak, en zal de springer dus ook weer op de evenaar landen. De in het begin van het topic gegeven afwijking betreft het geval van een vallende bal/kogel. Dat is iets anders, de omtreksnelheid boven op de toren is hoger dan die op het aardoppervlak. In onderstaande link wordt een waarde gegeven waar we méér aan hebben, hoewel ook daar de zuidelijke afwijking wordt verwaarloosd:

http://scienceblogs.com/builtonfacts/2009/...on_and_cori.php

Verder vonden we in bericht #159 dat:

\( \frac{\varphi_D - \varphi_E}{2} = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

,

\( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \)

.

In het zelfde bericht spraken we af dat:

\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \)

,

\( \Lambda = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \)

.

Dus:

\( \frac{\varphi_D - \varphi_E}{2} = \Phi \)

,

\( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} = \Lambda \)

.

Dat zijn de halve verschillen in breedte- en lengtegraad tussen het verdraaide punt van afzetten D en het eindpunt E. Hieruit berekent men eenvoudig de bijbehorende zuidelijke en westelijke afwijkingen. (Zie ook bericht #161.) De waarden Φ en Λ komen ook in het Formule-Schema voor. In bericht #114 hebben we - voor het gemak van de bewijsvoering - aangenomen dat 0 < φ_B < π/2 rad is. Voor het geval φ_B = 0 is het dus niet zeker of de formules nog wel bruikbaar zijn. Als we echter toch 0 voor φ_B invullen, krijgen we Φ = 0. Dat wil zeggen noch een zuidelijke noch een noordelijke afwijking, precies zoals dat ook moet zijn.