x^n als functie van Combinaties

[Professor Puntje]

Even zien, staat daar dit?

\(\)

\( \mbox{a}(n,k) = \frac{1}{k} \sum\limits_{i=0}^k (-1)^{k-i} \left(\begin{array}{cols} k \\i \end{array}\right) i^n \)

met:

\(\)

\( n \geq 1 \,\, \& \,\, 1 \leq k \leq n \)

[Professor Puntje]

Die serie staat ook op OEIS:

https://oeis.org/search?q=1%2C31%2C180% ... &go=Search

Triangular array a(n,k) = (1/k)*Sum_{i=0..k} (-1)^(k-i)*binomial(k,i)*i^n; n >= 1, 1 <= k <= n, read by rows.

Bedoel je daarmee de "Lara getallen van de eerste soort"?

[ukster]

klopt inderdaad...

a[n,k].png (2.46 KiB) 910 keer bekeken

[Professor Puntje]

Dus die twee formules voor respectievelijk a( . , . ) en L( . , . ) geven dezelfde resultaten?

[Professor Puntje]

\( \mbox{L}(k,m) = \sum\limits_{j=0}^{k} \left( \begin{array}{cols} {k} \\j \end{array}\right) \cdot (-1)^j \cdot (k+1-j)^m \)

Dat moet dan hetzelfde opleveren...

[Professor Puntje]

Bron: https://arxiv.org/pdf/1806.00887.pdf

[Human]

pp en Vincent

Met bewondering bekeek ik het artikel over de bewuste getallen (van 2018)
Ik moet eerlijk zijn .... mijn beperkte wiskundige kennis laat niet toe te begrijpen waarvoor hij ze gebruikt of waarvoor ze nuttig zijn.
Wel meen ik op te merken dat hij er nergens x^n mee berekend.
Mijn studie en de publicatie van mijn formule dateert al van 2010.
Wilt iemand van jullie iets meer voor mij verduidelijken aub?
..............................
Waar ik het had in Word163 over het "vierkant van Lara, gaat het eigenlijk over een "Kwadrant van Lara, gezien het oneindig
doorlopen naar rechts - onder.

Word163.docx

(65.08 KiB) 76 keer gedownload

..................................
Bij leven en welzijn stuur ik volgende week een reactie met een verduidelijking van hoe ik aan de (ondertussen) vier bijkomende formules geraakt ben.
.................................
Uw reactie op mij reactie (waar het gaat over een andere reeks "Getallen van Lara" bij het ontwikkelen van x^n naar Combinaties van (x) of in plaats van naar Combinaties van (x-1) zou ik zeer waarderen.

[Professor Puntje]

Belangrijk is dat je kwadrant met de "getallen van Lara" in de wiskunde al een naam blijkt te hebben, namelijk de "Mirrored Worpitzky Number Triangle".

[Human]

PP,

Hoezo ?
Het "Kwadrant van Lara " wordt gevormd door "De getallen van Lara" EN de binominaal coefficienten.
In de publicatie vind ik dat niet terug ..... enkel de getallen.
Maakt hij er gebruik van om x^n te formuleren ?

[Human]

pp,

Ben maar een "hobby-istje" hoor.
Maar ik vond mijn formule, nog nergens, ook nu nog niet terug als uitdrukking van x^n
Akkoord?

[Professor Puntje]

De formule voor x^n waar ik jouw formule uit afgeleid heb stond wel op de Wikipedia. En nu de getallen van Lara al in de "Mirrored Worpitzky Number Triangle" blijken voor te komen is het een kwestie van de literatuur doorzoeken waar jouw formule voor x^n ergens te vinden is. (Dat is veel werk en daar heb ik geen zin in.) Maar ook als je formule nergens staat is die met wat simpele algebra uit de Wikipedia-formule af te leiden. Je formule is dus sowieso nauwelijks iets nieuws. Waar je wel een eer in kunt stellen is dat je formule juist is.

[Human]

PP,

Ik heb hem algebraisch correct afgeleid, dus moest hij juist zijn.
Natuurlijk kan men uit de ene formule de andere afleiden ...... blijkbaar hangt wiskundig alles aan elkaar.
Het binomium van Newton is ook door een middelbare scholier te genereren.
De getallen van Lara zijn gewoon de "basis verschillen" ik kolom 1 voor de verschillende machten.
Natuurlijk zullen die al afgeleid en bestudeert zijn (2018 !!!)...... maar blijkbaar nog niet in de relatie tot x^n.... denk ik.
Gelijk heeft U dat U in het opzoeken geen zin heeft.
"Wiskunde en onderwijs" schreef over de formule :
"De formule is een wiskundig aardigheidje waarvan we wellicht geen praktische bruikbaarheid moeten verwachten.
Wait and see !

Heel veel dank.

[Math-E-Mad-X]

Natuurlijk kan men uit de ene formule de andere afleiden ...... blijkbaar hangt wiskundig alles aan elkaar.

Ja, maar waar het om gaat is dat sommige dingen makkelijk af te leiden zijn, en andere dingen zeer moeilijk af te leiden zijn.

Als je een formule opschrijft die zeer eenvoudig afgeleid kan worden uit bestaande formules, dan zal geen enkele wiskundige jouw formule als 'nieuw' beschouwen. Zelfs al heeft nog nooit iemand eerder diezelfde formule opgeschreven of afgeleid.

[Human]

Math,

Correct,
Het binomium van Newton is echter af te leiden door een scholier uit het middelbaar onderwijs.

Toch heeft hij reden van bestaan, en og geen klein beetje.

PP.

De getallen om x^n te schrijven als functie van combinaties van (x-1) waren:

Voor macht 1:(1,1)
Voor macht 2:(1,3,2)
Voor macht 3:(1,7,12,6,)
Voor macht 4:(1,15,50,60,24)
Voor macht 5:(1,31,180,390,360,120)
Voor macht 6:(1,63,602,2100,3360,2520,720)
......
Deze "Getallen van Lara van orde 1) hebben blijkbaar inderdaad nut in de studie die op aangaf ... die ik niet begrijp.

Mooier nog is x^n te schrijven als funcTie van combinaties van x.

Voor macht 1:(0,1)
Voor macht 2:(0,1,2)
Voor macht 3:(0,1,6,6,)
Voor macht 4:(0,1,14,36,24)
Voor macht 5:(0,30,150,240,120)
Voor macht 6:(,0,62,540,1560,1800,720)
.........
Vind men deze "Getallen van Lara van orde 0" ook in de literatuur?
Merk op dat de laatste getallen ook telkens n! zijn.
Deze getallen van orde 0 zijn zeer gemakkelijk af te leiden van die van orde 1
(Het tweede getal min het eerste getal, dan het derde getal min de eerste uitkomst ..... enz)

MIJN FORMULE IS TE GENERALISEREN ALS FUNCTIE VAN COMBINATIES VAN ALLE (x-a) WAARBIJ a EEN NATUURLIJK GETAL IS.
BIJ ELKE a HOREN "GETALLEN VAN LARA VABN DE ORDE a).

Als een formule voor x^n als functie van Combinaties van (x-a) en specifieke getallen per macht geen nieuwe interessante formule is........ dan weet ik het niet meer.
DAT ZE HEM DAN OOK MAAR OPNEMEN IN DE WISKUNDE BOEKEN VAN HET MIDDELBAAR ONDERWIJS.
(Misschien in het hoofdstuk van de Combinatieleer).

En dat ze dan mijn 4 andere formules (gevonden uit algebraische spitsvondigheden bij het opstellen van de hoofdformule)) ook maar eens bewijzen.

Ware dankbaar voor mij als één van jullie wiskundige experts ze bewees.
Ik wil ze gerust nog eens alle 4 in één word document in mijn oude notatie noteren.

[Human]

Ik heb er maar drie nog eens op een rijtje gezet.
Ze Lijken alle drie vrij banaal .... maar ze zijn wat ze zijn.
(Ik heb er twee van nodig in mijn vermeend bewijs van FLT).
Hopelijk zijn er geen schrijf foutjes in geslopen......want ik ben aan rust toe.

Moest iemand (Xilvo ?) ze willen in moderne notatie zetten, ware ik weer iets gelukkiger.

Word167.docx

(82.05 KiB) 63 keer gedownload