Product
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 424
Re: Product
Ja, zover was ik ook al ![👍🏻](//cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@latest/assets/svg/1f44d-1f3fb.svg)
Maar dan kom ik uit op:
Pn = n(n+1)/(n(n+1)-1) x (n+1)(n+2)/((n+1)(n+2)-1) x …
En zo snel kreeg ik dat niet vereenvoudigd
Maar dan kom ik uit op:
Pn = n(n+1)/(n(n+1)-1) x (n+1)(n+2)/((n+1)(n+2)-1) x …
En zo snel kreeg ik dat niet vereenvoudigd
-
- Berichten: 481
Re: Product
Je hebt P(n) al gegeven als product van factoren:
\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i(i+1)-2}\)
herschrijf de noemer:
\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i^2+i-2}\)
ofwel
\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{(i-1)(i+2)}\)
In het product P(n) ontstaan hierdoor gelijke kwadraten in de teller en noemer, die tegen elkaar wegvallen.
Voorbeeld voor n=6:
\(P(6) = \frac{2\cdot 3}{1\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 4}{2\cdot 5}\cdot \frac{4\cdot 5}{3\cdot 6}\cdot\frac{5\cdot 6}{4\cdot 7}\cdot\frac{6\cdot 7}{5\cdot 8}\)
In dit geval vallen beide \(4^2\) in teller en noemer tegen elkaar weg, hetzelfde geldt voor \(5^2\)
Dit levert:
\(P(6) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 6 \cdot 6 \cdot 7}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}\)
In het algemeen houden we zo voor P(n) dus over:
\(P(n) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot n \cdot n \cdot (n+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}\)
en dit nog vereenvoudigd:
\(P(n) = \frac{3n}{n+2}\)
Voor grote n is dit ongeveer 3 (maar je hebt nu ook het exacte antwoord).
\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i(i+1)-2}\)
herschrijf de noemer:
\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{i^2+i-2}\)
ofwel
\(P(n) = \prod_{i=2}^n \frac{i(i+1)}{(i-1)(i+2)}\)
In het product P(n) ontstaan hierdoor gelijke kwadraten in de teller en noemer, die tegen elkaar wegvallen.
Voorbeeld voor n=6:
\(P(6) = \frac{2\cdot 3}{1\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 4}{2\cdot 5}\cdot \frac{4\cdot 5}{3\cdot 6}\cdot\frac{5\cdot 6}{4\cdot 7}\cdot\frac{6\cdot 7}{5\cdot 8}\)
In dit geval vallen beide \(4^2\) in teller en noemer tegen elkaar weg, hetzelfde geldt voor \(5^2\)
Dit levert:
\(P(6) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 6 \cdot 6 \cdot 7}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}\)
In het algemeen houden we zo voor P(n) dus over:
\(P(n) = \frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot n \cdot n \cdot (n+1)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}\)
en dit nog vereenvoudigd:
\(P(n) = \frac{3n}{n+2}\)
Voor grote n is dit ongeveer 3 (maar je hebt nu ook het exacte antwoord).
-
- Berichten: 424
Re: Product
Het is grappig; ik vermoedde al dat tellers en noemers in het product tegen elkaar zouden gaan wegvallen tijdens invullen, dus ik zat aanvankelijk op dat spoor, maar mezelf blijkbaar misteld, want dacht dat die vlieger niet opging. Dank!