halveringsprobleem
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
halveringsprobleem
Ik vond het volgende aardige probleem.
Wie heeft een oplossing?
Van een natuurlijk getal N halen we het eerste cijfer weg en plakken het achter het getal (b.v. 123 wordt 231).
Door deze actie wordt het getal N gehalveerd.
Geef een waarde voor N.
Zie http://home.quicknet.nl/qn/prive/pijnappel...logica/pvdw.htm
Wie heeft een oplossing?
Van een natuurlijk getal N halen we het eerste cijfer weg en plakken het achter het getal (b.v. 123 wordt 231).
Door deze actie wordt het getal N gehalveerd.
Geef een waarde voor N.
Zie http://home.quicknet.nl/qn/prive/pijnappel...logica/pvdw.htm
- Berichten: 647
Re: halveringsprobleem
het eerste getal is
10.a+b
(we schrijven het "eerste getal" als a)
dan geldt:
tweede getal (eerste cijfer erna) wordt dan
10.b+a
we lossen dit op:
10.a+b=2.(10.b+a)
er komt
{a = 19/8*b, b = b}
of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2
uiteraard kan je verder gaan, en ipv veronderstellen dat het getal a kleiner dan tien is, bijv. veronderstellen dat 9<a<99, dan komt er
{b = b, a = 199/98*b}
ofte: a=199, b=98
10.a+b
(we schrijven het "eerste getal" als a)
dan geldt:
tweede getal (eerste cijfer erna) wordt dan
10.b+a
we lossen dit op:
10.a+b=2.(10.b+a)
er komt
{a = 19/8*b, b = b}
of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2
uiteraard kan je verder gaan, en ipv veronderstellen dat het getal a kleiner dan tien is, bijv. veronderstellen dat 9<a<99, dan komt er
{b = b, a = 199/98*b}
ofte: a=199, b=98
???
- Berichten: 5.679
Re: halveringsprobleem
0
rodeo.be, was is bij jou nu N? (198 kan niet, want dat wordt 981 en dat is niet de helft van 198)
rodeo.be, was is bij jou nu N? (198 kan niet, want dat wordt 981 en dat is niet de helft van 198)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 24.578
Re: halveringsprobleem
Als je N gelijk is aan 198, dan is je N* (getal na de schuif-operatie) 981, en niet 99. Het probleem zit in het feit dat in jouw model, a én b kleiner dan 10 moeten zijn om aan het probleem te voldoen.of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2
- Berichten: 5.679
Re: halveringsprobleem
Er zijn denk ik oneindig veel van zulke getallen N, twee voorbeelden zijn: 210526315789473684 en 315789473684210526315789473684210526.
(edit) Verder voldoet ieder getal van de vorm N = 2p(1018q-1)/19 met 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]
(edit) Verder voldoet ieder getal van de vorm N = 2p(1018q-1)/19 met 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 647
Re: halveringsprobleem
ja, dat was idd mijn veronderstelling, maar de getallen 8 en 19 voldoen hier niet aan toch ingevuld, en het klopt:Als je N gelijk is aan 198, dan is je N* (getal na de schuif-operatie) 981, en niet 99. Het probleem zit in het feit dat in jouw model, a én b kleiner dan 10 moeten zijn om aan het probleem te voldoen.rodeo.be schreef:of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2
Code: Selecteer alles
a=19
b=8
10.a+b = 190+8 = 198
10.b+a = 80+19 = 99
no probPeterPan schreef:Niet te geloven.
Knap gevonden!!!
wel, ik heb maple laten solven (leve M) en je hebt idd oneindig veel mog.Rogier schreef:Er zijn denk ik oneindig veel van zulke getallen N, twee voorbeelden zijn: 210526315789473684 en 315789473684210526315789473684210526.
(edit) Verder voldoet ieder getal van de vorm N = 2p(1018q-1)/19 met 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]
???
- Berichten: 5.679
Re: halveringsprobleem
Nee, a staat voor het eerste cijfer, en dat moet één cijfer zijn (1 t/m 9), dus '19' kan nietrodeo.be schreef:klopt toch?Code: Selecteer alles
a=19 b=8 10.a+b = 190+8 = 198 10.b+a = 80+19 = 99
Verder is het eerste getal niet 10.a+b maar 10[10Log(hele getal)].a+b waarbij [...] de entier-functie voorstelt, die rondt af naar beneden.
Huh, hoe laat je dit door Maple oplossen dan?wel, ik heb maple laten solven (leve M) en je hebt idd oneindig veel mog.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 647
Re: halveringsprobleem
*** ja teveel benaderdNee, a staat voor het eerste cijfer, en dat moet één cijfer zijn (1 t/m 9), dus '19' kan niet
???
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: halveringsprobleem
Rogier, kan je me vertellen hoe je aan je formule komt. En hoe je de getallen gegenereerd hebt.
Overigens laat de formule zien dat er oneindig veel getallen zijn die voldoen aan de voorwaarde.
Overigens laat de formule zien dat er oneindig veel getallen zijn die voldoen aan de voorwaarde.
- Berichten: 5.679
Re: halveringsprobleem
Een getal dat aan de voorwaarde voldoet kun je schrijven als p 10n + r, waarbij 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en r<10n. p is dus het voorste (meest significante) cijfer en r de rest.
Heb je bijvoorbeeld 40571, dan p = 4 en r = 571 (en n=4).
Na de beschreven verschuiving wordt het getal: 10r+p, en dit moet de helft zijn van waar je mee begon, dus dan weet je dat moet gelden p 10n + r = 2(10r+p).
Werk je deze vergelijking uit:
p 10n + r = 20r + 2p
p(10n-2) + r = 20r
p(10n-2) = 19r
p(10n-2)/19 = r
Omdat p en r allebei gehele getallen zijn, moet (10n-2)/19 ook een geheel getal zijn. Als je een n hebt gevonden waarvoor (10n-2)/19 , dan heb je meteen 9 oplossingen, namelijk p = 1 t/m 9. De bijbehorende r kun je uitrekenen en die voldoet altijd aan r<10n want r = p(10n-2)/19 9(10n-2)/19 < 10n[.]9/19 < 10n.
De eerste n die voldoet is n=17, wat deze oplossingen oplevert:
p=1 1 1017 + 1(1017-2)/19 = 105263157894736842
p=2 2 1017 + 2(1017-2)/19 = 210526315789473684
enz.
De volgende is n=35, 53, 71, en zo iedere 18q-1 voor q *.
Het getal als geheel is dan p 10n + r
= p 10n + p(10n-2)/19
= p ( 10n + (10n-2)/19 )
= p ( 10n 19 + 10n-2 ) / 19
= p ( 10n 20 - 2 ) / 19
= p ( 10n+1 2 - 2 ) / 19
= 2p ( 10n+1 - 1 ) / 19
n was van de vorm 18q-1 met q *, dus de uiteindelijke oplossing is: 2p(1018q-1)/19 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element] *
Als je deze formule eenmaal hebt is het genereren van de getallen natuurlijk kinderspel (er zijn er inderdaad oneindig).
Nou weet ik alleen niet meer hoe ik eraan ben gekomen dat 19 een deler is van 10n-2 n=18q-1... Ik had het toen zo maar ik zie het nu niet meer!? Als iemand anders dat weet, graag!
Heb je bijvoorbeeld 40571, dan p = 4 en r = 571 (en n=4).
Na de beschreven verschuiving wordt het getal: 10r+p, en dit moet de helft zijn van waar je mee begon, dus dan weet je dat moet gelden p 10n + r = 2(10r+p).
Werk je deze vergelijking uit:
p 10n + r = 20r + 2p
p(10n-2) + r = 20r
p(10n-2) = 19r
p(10n-2)/19 = r
Omdat p en r allebei gehele getallen zijn, moet (10n-2)/19 ook een geheel getal zijn. Als je een n hebt gevonden waarvoor (10n-2)/19 , dan heb je meteen 9 oplossingen, namelijk p = 1 t/m 9. De bijbehorende r kun je uitrekenen en die voldoet altijd aan r<10n want r = p(10n-2)/19 9(10n-2)/19 < 10n[.]9/19 < 10n.
De eerste n die voldoet is n=17, wat deze oplossingen oplevert:
p=1 1 1017 + 1(1017-2)/19 = 105263157894736842
p=2 2 1017 + 2(1017-2)/19 = 210526315789473684
enz.
De volgende is n=35, 53, 71, en zo iedere 18q-1 voor q *.
Het getal als geheel is dan p 10n + r
= p 10n + p(10n-2)/19
= p ( 10n + (10n-2)/19 )
= p ( 10n 19 + 10n-2 ) / 19
= p ( 10n 20 - 2 ) / 19
= p ( 10n+1 2 - 2 ) / 19
= 2p ( 10n+1 - 1 ) / 19
n was van de vorm 18q-1 met q *, dus de uiteindelijke oplossing is: 2p(1018q-1)/19 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element] *
Als je deze formule eenmaal hebt is het genereren van de getallen natuurlijk kinderspel (er zijn er inderdaad oneindig).
Nou weet ik alleen niet meer hoe ik eraan ben gekomen dat 19 een deler is van 10n-2 n=18q-1... Ik had het toen zo maar ik zie het nu niet meer!? Als iemand anders dat weet, graag!
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: halveringsprobleem
19 is een deler van (1018)q-1 (Stelling van Fermat).Nou weet ik alleen niet meer hoe ik eraan ben gekomen dat 19 een deler is van 10n-2 n=18q-1... Ik had het toen zo maar ik zie het nu niet meer!? Als iemand anders dat weet, graag!
Je moet toch echt 1000.... fisiek door 19 delen om te zien of niet 19 deler is van 10z-1 voor z=deler van 18.
Er zit een foutje in het bewijs van Rogier .
Waar Wie ziet het
- Berichten: 5.679
Re: halveringsprobleem
Oh ja, dank.19 is een deler van (1018)q-1 (Stelling van Fermat).
Bedoel je deze misschien?Er zit een foutje in het bewijs van Rogier .
Waar Wie ziet het
Da's iets te kort door de bocht, (10n-2)/19 hoefde slechts een geheel getal / p te zijn. Maar als p(10n-2) een 19-voud is moet die priemfactor 19 wel uit (10n-2) komen, want p[kleinergelijk]9.Rogier schreef:p(10n-2)/19 = r
Omdat p en r allebei gehele getallen zijn, moet (10n-2)/19 ook een geheel getal zijn"
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: halveringsprobleem
Fout is een groot woord. Het is iets suptiels.
Schrijf N = pqR.
De p naar recht brengen geeft: M = qRp.
M en N bevatten evenveel cijfers en N = 2M
Dus in M = qRp kan q slechts de waarden 1,2,3 of 4 hebben.
Dan is p = 2 of 3 (als q=1);
p = 4 of 5 (als q=2)
p = 6 of 7 (als q=3)
p = 8 of 9 (als q=4)
Dus 2 p 9.
p=1 voldoet dus niet.
Schrijf N = pqR.
De p naar recht brengen geeft: M = qRp.
M en N bevatten evenveel cijfers en N = 2M
Dus in M = qRp kan q slechts de waarden 1,2,3 of 4 hebben.
Dan is p = 2 of 3 (als q=1);
p = 4 of 5 (als q=2)
p = 6 of 7 (als q=3)
p = 8 of 9 (als q=4)
Dus 2 p 9.
p=1 voldoet dus niet.
- Berichten: 5.679
Re: halveringsprobleem
Wat is er mis met N = 105263157894736842 dan?
Dit wordt na verschuiving 052631578947368421, wat we meestal noteren als 52631578947368421 (*) maar dat is wel degelijk N/2.
Lijkt me een prima oplossing toch?
(*zie ook je signature )
Dit wordt na verschuiving 052631578947368421, wat we meestal noteren als 52631578947368421 (*) maar dat is wel degelijk N/2.
Lijkt me een prima oplossing toch?
(*zie ook je signature )
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.