N!

[PhilipVoets]

Op hoeveel nullen kan het getal N! = 1 x 2 x 3 x … x (N-1) x N nooit eindigen? Lijkt me dat het er eenvoudigweg op aankomt hoeveel maal tien (1 x 10, 2 x 5, etc.) of een veelvoud hiervan (4 x 25, etc.) gevormd kan worden in het product tot aan N. Dat bepaalt “het aantal nullen” en het product van de resterende termen “wat daarvoor komt”.
Wat zou jullie idee zijn, hoeveel nullen kan nooit?

[Xilvo]

Een eerste gedachte: Zodra je met een macht van tien, 10ⁿ met n>1 vermenigvuldigt, dan krijg je er meteen meer dan één nullen bij.
Dus bijvoorbeeld het aantal nullen van 99! plus 1 (dat zijn er 23) kan nooit want 100! heeft meteen 2 nullen meer, 24 nullen.

[PhilipVoets]

Ik neig zelf naar 5 als onmogelijk aantal nullen, immers:
Beschouw 24! en 25!, dan geldt voor 24!: 2x5=10, 10 zelf, 12x15=18x10, 20=2x10 = 10^4 x overige termen (uit product waarvan je geen tiental kunt halen)
Ga je naar 25!, dan komt daar nog 4x25=100=10^2 bij en zit je aan 10^6. Volgens mij kan 10^5 niet bereikt worden.

[Xilvo]

Ik neig zelf naar 5 als onmogelijk aantal nullen, immers:

Dat klopt!

[Xilvo]

Dit aantal nullen is niet mogelijk (tot en met 1000! bekeken):

Code: Selecteer alles

5
11
17
23
29
30
36
42
48
54
60
61
67
73
79
85
91
92
98
104
110
116
122
123
129
135
141
147
153
154
155
161
167
173
179
185
186
192
198
204
210
216
217
223
229
235
241
247
248

[PhilipVoets]

Welk programma heb je daarvoor gebruikt?

[Xilvo]

Een simpel zelfgeschreven Python programmaatje.

[PhilipVoets]

Dank!

[Xilvo]

Graag gedaan.

Bij iedere 5 komt er een nul bij (tweevouden zijn er genoeg), bij ieder 25-voud (5²) komen er twee nullen bij dus heb je een aantal nullen overgeslagen, zoals bij de vijf nullen die je al noemde.
Bij ieder 125-voud (5³) komen er drie nullen bij, sla je twee aantallen nullen over, enzovoort.

[Bart23]

bijvoorbeeld:

Code: Selecteer alles

nullen=[0]
onmogelijk=[]
for n in range(1,1000):
    if n%5==0:
        onmogelijk+=[i for i in range(nullen[-1]+1,nullen[-1]+dict(factor(n))[5])]
        nullen.append(nullen[-1]+dict(factor(n))[5])
    else: nullen.append(nullen[-1])
print(onmogelijk)

Via deze link heb je het ineens in een gratis onlinepakket:
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx9jk ... UAARUAuQ==

[PhilipVoets]

Graag gedaan.

Bij iedere 5 komt er een nul bij (tweevouden zijn er genoeg), bij ieder 25-voud (5²) komen er twee nullen bij dus heb je een aantal nullen overgeslagen, zoals bij de vijf nullen die je al noemde.
Bij ieder 125-voud (5³) komen er drie nullen bij, sla je twee aantallen nullen over, enzovoort.

Inderdaad erg eenvoudig in de kern. Dus vanaf de “haalbare 6 nullen” gerekend zijn 7, 8, 9 en 10 nullen haalbaar vanwege de 5-vouden 30, 35, 40 en 45 (bij overmaat aan 2-vouden om het product op 10 uit te laten komen), waarna er weer bij 25-voud 50 de 11e nul wegvalt en naar 12 nullen springt, etc.?

[Xilvo]

Inderdaad erg eenvoudig in de kern. Dus vanaf de “haalbare 6 nullen” gerekend zijn 7, 8, 9 en 10 nullen haalbaar vanwege de 5-vouden 30, 35, 40 en 45 (bij overmaat aan 2-vouden om het product op 10 uit te laten komen), waarna er weer bij 25-voud 50 de 11e nul wegvalt en naar 12 nullen springt, etc.?

Ja, bij 25-vouden sla je een nullen-aantal over, tenzij het een 125-voud is (s³), dan sla je er twee over, Bij een 625-voud (5⁴) sla je er drie over, enzovoort.

[Xilvo]

Ter illustratie

x-as: getal waar de faculteit van genomen wordt, y-as: het aantal nullen.

[PhilipVoets]

Helder, merci!