differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 156
differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
De volgende opdracht kom ik niet uit:
Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:
f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.
Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?
Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)
Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:
Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reële getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.
Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?
Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:
f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.
Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?
Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)
Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:
Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reële getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.
Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?
huh?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
Een functie is inverteerbaar als de functie op zijn domein eenduidig is, ook wel 1-1-afbeelding genoemd.iris schreef:De volgende opdracht kom ik niet uit:
Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:
f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.
Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?
Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)
Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:
Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reële getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.
Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?
Vb: zo is de lineaire functie inverteerbaar.
Vb: e^x is inverteerbaar.
Vb: de sin, cos en tan zijn periodiek en dus niet-inverteerbaar
Willen we nu toch een inverse functie definiëren, dan beperken we het domein. Neem bv de tan, als we als domein <-Pi/2,Pi/2> kiezen is de tan inverteerbaar en zo definiëren we als inverse arctan (het bereik van arctan is dan natuurlijk <-Pi/2,Pi/2>).
Ga zelf na wat er gebeurt bij het definiëren van sin en cos!
- Berichten: 156
Re: differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?
Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?
Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?
huh?
-
- Berichten: 7.072
Re: differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
Nee, dat is niet zo. Zie het zo: een functie f(x) is inverteerbaar als jij mij met 100% zekerheid kan vertellen welke x ik had als ik je de waarde van f(x) vertel voor die x (ofwel er is maar 1 x bij elke waarde die f(x) kan aannemen).ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?
Voor
\(f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\)
is dat niet zo. Als ik bijvoorbeeld zeg dat de waarde van f(x) gelijk is aan 0 dan weet jij niet welke x ik had (0, \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), enz.).Een functie is gedefinieerd voor een bepaalde x als hij een uitkomst in het bereik geeft voor die waarde van x. Een functie is differentieerbaar als de volgende limiet bestaat:Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?
\(\lim_{x \rightarrow a} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
- Berichten: 7.556
Re: differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
Een functie is slechts dan inverteerbaar als deze bijectief (zowel injectief als surjectief) is.
Een functie is gedefinieerd op zijn domein (beetje flauw natuurlijk, maar voor het bepalen van het domein zijn er niet echt regels, dat zie je vaak heel snel). Voor alle
Een functie is inderdaad differentieerbaar als de limiet die EvilBro geeft bestaat, maar in jouw voorbeeld lukt dat niet zo makkelijk. Volgens mij is het het makkelijkst om eerst de afgeleide te bepalen met behulp van de ketting- en productregel:
Je ziet nu een breuk, deze is niet gedefinieerd voor x-waarden die een noemer gelijk aan nul opleveren.
Een functie is gedefinieerd op zijn domein (beetje flauw natuurlijk, maar voor het bepalen van het domein zijn er niet echt regels, dat zie je vaak heel snel). Voor alle
\(x\in dom(f)\)
bestaat er een functiewaarde.Een functie is inderdaad differentieerbaar als de limiet die EvilBro geeft bestaat, maar in jouw voorbeeld lukt dat niet zo makkelijk. Volgens mij is het het makkelijkst om eerst de afgeleide te bepalen met behulp van de ketting- en productregel:
\(\frac{\left(\frac{1}{(7+7x^2)}\right)}{\cos^2{\left(\frac{\arctan(x)}{7}\right)}}\)
.Je ziet nu een breuk, deze is niet gedefinieerd voor x-waarden die een noemer gelijk aan nul opleveren.
\(\cos^2(y)\)
levert nul op voor y-waarden \(\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi \)
enz. Je ziet al gauw dat dat hier nooit lukt, dus is zowel de functie als zijn afgeleide gedefinieerd op de hele R.- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.
Is er iets niet duidelijk in mijn post?iris schreef:ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?
Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?
Waarom denk je dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op <0,Pi>?
sin(x)*cos(x)=1/2sin(2x)
Teken de grafiek en kijk naar eenduidigheid, dus bij elke x uit het domein hoort precies één x uit het bereik!