3 vergelijkingen 3 onbekenden

[kotje]

Geschreven met x, y en z:

x . 4,00 > x + y + z

y . 3,50 > x + y + z

z . 1,91 > x + y + z

Voor oplossingen geldt dus:

x > 1/4 . (x + y + z)

y > 2/7 . (x + y + z)

z > 100/191 . (x + y + z)

Waardoor:

x + y + z > (1/4 + 2/7 + 100/191) . (x + y + z)

x + y + z > 1,059274... . (x + y + z)

0 > 0,059274... . (x + y + z)

x + y + z < 0 .

Klopt dit? En hebben we er iets aan?

Voor mij klopt dit. Maar dat helpt ons geen stuk verder ](*,)

[oktagon]

Je kunt de 3 vergelijkingen terugbrengen naar 1 vergelijking met dezelfde 3 onbekenden;nmm.onoplosbaar!

De 3 vergelijkingen optellen geeft

4x₁+3.5x₂+1,91x₃ > 3x₁++3x₂+3x₃

Dan delen door 3 geeft

1,33x₁+1,66x₂+0,637x₃ > x₁+x₂+x₃

Beide zijden verminderen met x₁+x₂+x₃ geeft

0,33x₁+0,66x₂-0,363x₃ > 0

[mcs51mc]

Wel leuk om te zien dat twee onafhankelijke verwerkingen (waar niets tussen te krijgen is), twee totaal verschillende oplossingen levert.

Betekent dit dus: a) onoplosbaar of b) oneindig veel oplossingen of c) maak ik mij hier druk over niets bijzonders ? ](*,)

0 > 0,059274 . (x + y + z)

0 < 0,33x + 0,66y - 0,363z

[bessie]

naamloos.GIF (3.73 KiB) 552 keer bekeken

Zie bijgaande figuur. Zoals ik zei en wat Wiki beaamt, vormen de drie vergelijkingen vlakken in de xyz-ruimte. Hoe lopen deze vlakken, behalve door de oorsprong? Neem een vaste waarde voor z, ik heb in dit geval getekend z=-4. De vergelijkingen kunnen nu worden herschreven zoals in de figuur. Zij laten een kleine driehoek over, met z-coordinaat -4.

Voor elke andere waarde van z krijg je een andere driehoek, zij vormen samen een piramide die naar beneden is gericht. Voor positieve waarden van z zijn er geen oplossingen die voldoen, dus de oorsprong vormt de top van de piramide.

Van deze piramide is geen expliciete vergelijking te geven, tenzij iemand het tegendeel bewijst. Het enige dat mogelijk is, is de oorspronkelijke vergelijkingen iets te vereenvoudigen. Zoals ik in mijn eerste post beweerde.

edit Sorry had de andere posts niet gelezen. Je moet uitkijken met het herschrijven van de vergelijkingen met > teken, omdat als je één variabele minimaliseert, en die geminimaliseerde variabele gebruikt om een andere te maximaliseren, je een verkeerde uitkomst krijgt.

[oktagon]

Ik werkte niet in de 3D-sfeer,zoals mcs51mc beweert,doch blijf in de 1D-sfeer,dus lineair zoals het vraagstuk wordt gelanceerd.

Verder vraag ik me af indien je > (x₁ + x₂ + x₃) vermindert met > (x₁ + x₂ + x₃) dat alleen maar nul oplevert en niet >0

Als je deze stelling gebruikt bij alle vergelijkingen blijft er voor elke onbekende slechts nul over!

[bessie]

Ik werkte niet in de 3D-sfeer,zoals mcs51mc beweert,doch blijf in de 1D-sfeer,dus lineair zoals het vraagstuk wordt gelanceerd.

Het is een vraagstuk met 3 lineaire vergelijkingen in drie onbekenden, hetgeen gewoon in de lineaire algebra en dus in euclidische ruimten valt.

Als je deze stelling gebruikt bij alle vergelijkingen blijft er voor elke onbekende slechts nul over!

Dat heb ik al eerder beweerd, als je alles subsitueert krijg je iets als x1>0, x2>0, x3>0. (5e bericht eerste pagina). Dit blijkt verkeerd, het moet zijn <0, maar het principe is gewoon hetzelfde. Je mag in dit geval niet zomaar geminimaliseerde variabelen substitueren in andere.

[Rogier]

Ik zal voor de schrijfbaarheid x y en z nemen als variabelen, en ik zal de ongelijkheden even vervangen door gelijkheden, waardoor de drie vlakken A, B en C ontstaan in de xyz ruimte:

A:3x-y-z=0

B:-x+2,5y-z=0

C:-x-y+0,91z=0

De snijlijn van vlakken A en B bereken ik hier: het is een vector met drager (x,y,z). Hij staat loodrecht op de normaalvectoren van A (a1,b1,c1) en B (a2,b2,c2), met waarden (3,-1,-1) en (-1,2.5,-1). Neem de x van de drager gewoon 1, dan kun je uit

a1+b1y+c1z=0 en a2+b2y+c2z=0 uitrekenen dat voor z geldt z = (a2b1-a1b2)/(b2c1-b1c2)=1,86 en y=4,86.

Ofwel deze snijlijn loopt vanuit de oorsprong in de richting (1, 1.86, 4.86).

Dat lijkt mij niet te kloppen, want 3*1-1*1.86-1*4.86 ](*,) 0.

[Rogier]

Je kunt de 3 vergelijkingen terugbrengen naar 1 vergelijking met dezelfde 3 onbekenden;nmm.onoplosbaar!

Door ze op te tellen tot 1 vergelijking verlies je informatie, dan wordt het inderdaad oplosbaar ](*,)

(Vergelijk met een simpel 2-dimensionaal voorbeeld: y=2x

\(\wedge\)

y=3x-1, wat oplost naar x=1 en y=2, maar als je deze 2 vergelijkingen optelt krijg je 2y=5x-1 waaraan niets meer valt op te lossen...)

[bessie]

OK nu gaan we dus aannemen dat het principe van mijn oplossing klopt en gaan we kijken of ik ergens een rekenfoutje heb gemaakt. Hetgeen ik ongetwijfeld ergens heb gedaan, want 3+1.86+4,86 is wel geen nul maar 3+1.86-4.86 wel. Dus ik heb ergens een teken verwisseld. Reken jij het maar helemaal precies goed uit hoor, dat soort neuzelarijtjes interesseert mij niet. Groet,

[Rogier]

OK nu gaan we dus aannemen dat het principe van mijn oplossing klopt en gaan we kijken of ik ergens een rekenfoutje heb gemaakt.

Als we toch moeten kiezen, zou het dan niet verstandiger zijn om er in eerste instantie vanuit te gaan de oplossing van een computer (Wolfram) klopt?

[Rogier]

Is dit wetenschap? Ik geef de oplossing en ik geef aan dat Rogier's methode niet kan kloppen. Wie geeft het tegenbewijs?

Ik ben er stellig van overtuigd dat mijn methode klopt, en ik zie zo ook geen denkfout in jouw methode, dus ik neem aan dat beide in feite dezelfde oplossing representeren. Waarbij mijn werkwijze volgens mij tot een excplietere oplossingsvorm leidt (namelijk deze) dan de jouwe (3 lijnen die een piramide opspannen).

[ZVdP]

Van deze piramide is geen expliciete vergelijking te geven, tenzij iemand het tegendeel bewijst. Het enige dat mogelijk is, is de oorspronkelijke vergelijkingen iets te vereenvoudigen. Zoals ik in mijn eerste post beweerde.

Voor zover ik weet kan je elk volume schrijven als:

\(a<x<b\)

\(f_1(x)<y<f_2(x) \)

\(f_3(x,y)<z<f_4(x,y)\)

Of is opdeelbaar in deelvolumes waarvan elk deel een bovenstaande beschrijving heeft.

Natuurlijk geen expliciete vergelijking, maar lijkt me toch een verdere uitwerking dan wat jij als mogelijk suggereerde, en een van de meer handigere vergelijkingen;

het is rechtstreeks mogelijk om:

-een willekeurig punt uit het volume selecteren

-volume integralen uit te rekenen

[Rogier]

Deze benadering was er ook nog:

Ik geef mijn manier van oplossen?

Ik begin met x₁>0

Ik deel beide leden van de ongelijkheden door x1 en stel x2/x1=x en x3/x1=y.

Ik weet dat rechte ax+by+c=0 het vlak in drie gebieden verdeelt punten waar na invulling in de rechte >0 volgt,=0 volgt en < 0 volgt.

Ik teken de 3 rechten en bepaal door schrapping het goede gebied(als het bestaat) en bereken x2 en x3.

Ik doe zelfde voor x1<0 en voor x1=0 neem ik direct 3 rechten dus niet delen door x1.

Edit: Ik heb het probleem opgelost (hopelijk juist?) in mijn geest. ](*,)

Ik zie het nog niet zo, hoe leidt dit precies tot een concrete oplossing?

[bessie]

Of is opdeelbaar in deelvolumes waarvan elk deel een bovenstaande beschrijving heeft.

Het wordt het tweede deel van je bewering, nl. het opdelen in deelichamen, en dan wordt het nog steeds een ingewikkelde vorm.

Natuurlijk geen expliciete vergelijking, maar lijkt me toch een verdere uitwerking dan wat jij als mogelijk suggereerde, en een van de meer handigere vergelijkingen;

het is rechtstreeks mogelijk om:

-een willekeurig punt uit het volume selecteren

-volume integralen uit te rekenen

Inderdaad, als dat de bedoeling is van de opgave. Ik kan nog veel meer vormen bedenken dan deze, die al of net bruikbaar zijn in andere omstandigheden. Ik durf zelfs te beweren dat in sommige omstandigheden, afhankelijk van de vormen van je functies f en g, het helemaal niet makkelijker is om dit zo te schrijven.

Maar we zijn ondertussen aanbeland in een duidelijk ruimtelijke beschouwing, die van het begin af aan door mij werd geopperd tegen de mening van anderen in. En ik heb nog steeds naar de aard van de opgave, geen oplossingen gezien voor x, y, en z, alleen samengestelde beweringen en vergelijkingen.

[kotje]

Als we toch moeten kiezen, zou het dan niet verstandiger zijn om er in eerste instantie vanuit te gaan de oplossing van een computer (Wolfram) klopt?

De computer geeft alleen mogelijke oplossingen, geen uitleg.

Voor x=0 geeft mijn methode geen oplossingen. De computer ook geen.