De stelling van Pythagoras.

[tempelier]

@ Xilvo, dan ben ik heel benieuwd hoe je afstand dan definieert?

De lengte van een rechte lijn tussen twee punten.

En wat is dan de lengte?

De afstand tussen twee punten hangt af van de gebruikte metriek.
Herinner je nog mijn vierkante cirkel?

[Xilvo]

Ik neem aan dat het hier over een Euclidische ruimte gaat, tenslotte gaat het over de stelling van Pythagoras.

[tempelier]

Ik neem aan dat het hier over een Euclidische ruimte gaat, tenslotte gaat het over de stelling van Pythagoras.

Dan nog blijft het probleem staan.

Misschien moeten we deze (niet erg strenge) definitie gebruiken.
De afstand tussen twee punten is de kortste verbinding tussen die twee punten.

Meetkunde via Euclides opbouwen heeft nu een maal een licht intuïtief karakter en men heeft het axioma systeem nooit echt volledig gekregen. Niet voor niets wordt nu de meetkunde ontwikkeld uit de projectieve meetkunde, waar geen afstandsbegrip is.

[Math-E-Mad-X]

Puur wiskundig is er inderdaad geen enkele reden waarom het begrip 'lengte' aan de stelling van Pythagoras zou moeten voldoen. En inderdaad, in de wiskunde worden ook andere definities van lengte of afstand gebruikt die niet aan Pythagoras voldoen, zoals bijvoorbeeld de Manhattan distance (ook wel de L1 norm genoemd).

Echter, in de natuur blijkt de Euclidische norm wel de voorkeur te hebben boven andere definities van lengte. Dit komt omdat de natuur (voor een groot deel) spiegel-symmterisch is. En je kan puur wiskundig bewijzen dat de Euclidische norm de enige norm is de aan spiegel-symmetrie voldoet.

[Nesciyolo]

Ik snap niet zo goed waar jullie het over hebben. De stelling van Pythagoras is supereenvoudig te bewijzen.
Ik heb het al gedaan voor een gelijkbenige driehoek toen ik in 2 HAVO zat.
Speciaal voor jullie heb ik het nu opnieuw gedaan voor alle rechthoekige driehoeken.
Zonder ingewikkelde wiskundige geheimtaal, gewoon met simpele algebra en meetkunde.

In de tekening zie je 3 gelijkvormige driehoeken. de zijden daarvan a,b,c, a2,b2,c2 en a3,b3,c3.

omdat ze gelijkvormig zijn geldt
a/b = a2/b2 = a3/b3.
Ook gelden in dit geval:
b = a2,
c3 = a + b2,
c = a3 en
c2 = b3

Wij kunnen gelijkstellen:
(a + b2) / c = c / a dus c² = a(a + b2) = a² + (a * b2)
ook geldt:
b / a = b2 / a2 = b2 / b dus b² = (a * b1)
substitueren we die laatste in de daar bovenstaande, dan krijgen we
c² = a² + b²

Zo simpel is het.

[Nesciyolo]

b / a = b2 / a2 = b2 / b dus b² = (a * b1)

correctie:
b² = (a * b2)
typfoutje. Sorry

[tempelier]

Ik snap niet zo goed waar jullie het over hebben. De stelling van Pythagoras is supereenvoudig te bewijzen.
Ik heb het al gedaan voor een gelijkbenige driehoek toen ik in 2 HAVO zat.
Speciaal voor jullie heb ik het nu opnieuw gedaan voor alle rechthoekige driehoeken.
Zonder ingewikkelde wiskundige geheimtaal, gewoon met simpele algebra en meetkunde.

"20230428 Pythagoras 01.jpg"
In de tekening zie je 3 gelijkvormige driehoeken. de zijden daarvan a,b,c, a2,b2,c2 en a3,b3,c3.

omdat ze gelijkvormig zijn geldt
a/b = a2/b2 = a3/b3.
Ook gelden in dit geval:
b = a2,
c3 = a + b2,
c = a3 en
c2 = b3

Wij kunnen gelijkstellen:
(a + b2) / c = c / a dus c² = a(a + b2) = a² + (a * b2)
ook geldt:
b / a = b2 / a2 = b2 / b dus b² = (a * b1)
substitueren we die laatste in de daar bovenstaande, dan krijgen we
c² = a² + b²

Zo simpel is het.

Probleem is wel:
Hoe bewijs je de eigenschap van gelijkvormigheid zonder Pythagoras?

[Nesciyolo]

Probleem is wel:
Hoe bewijs je de eigenschap van gelijkvormigheid zonder Pythagoras?

Daar heb je de stelling van Pythagoras niet voor nodig. In dit geval zijn de driehoeken gelijkvormig omdat ze gelijke hoeken hebben. Het precieze bewijs daarvoor moet iemand anders hier maar geven als dat niet off-topic is.
Dat gelijkvormige driehoeken vaste verhoudingen tussen de lengtes van de zijdes hebben is makkelijk uit te leggen.

Stel je voor (of teken) een willekeurige rechthoek met een horizontale en een verticale zijde. Verdeel die rechthoek horizontaal en verticaal in een gelijk aantal gelijke delen door rechte lijnen te tekenen op horizontaal gelijke, en op verticaal gelijke afstand. (Zoveel je wil. Hoe meer hoe beter, maar wel horizontaal en verticaal even veel) Teken nu een diagonaal door de grote rechthoek. Daardoor ontstaat langs die diagonaal een aantal gelijke driehoeken van gelijke vorm en gelijke grootte. Ik hoop dat ik niet dieper hoef te verklaren dat die driehoekjes diagonalen van gelijke lengte hebben en dat de horizontale zijdes gelijke lengte hebben en de verticale ook.

Nu kan je in deze figuur grotere driehoeken gaan samenstellen door blokken van die kleinere driehoekjes en rechthoekjes samen te voegen. Je zal daar horizontaal en verticaal altijd een gelijk aantal voor nodig hebben, en de schuine zijde zal ook altijd langs net zoveel kleinere driehoekjes lopen. Als je dus bij een driehoek ABC de lengtes van a en b met een factor x verlengt, dan volgt daar uit dat ook de lengte van c met een factor x verlengd wordt. In ieder geval bij een rechthoekige driehoek.

Bij gelijkvormige (in dit geval rechthoekige) driehoeken is dus de verhouding tussen de lengtes van de verschillende zijden altijd gelijk.

[tempelier]

Daar heb je de stelling van Pythagoras niet voor nodig. In dit geval zijn de driehoeken gelijkvormig omdat ze gelijke hoeken hebben. Het precieze bewijs daarvoor moet iemand anders hier maar geven als dat niet off-topic is.
Dat gelijkvormige driehoeken vaste verhoudingen tussen de lengtes van de zijdes hebben is makkelijk uit te leggen.

Uitleggen is nog geen sluitend wiskundig bewijs.
Het staat trouwens in bijna geen enkel wiskunde boek voor het Middelbaar onderwijs.

[Xilvo]

Uitleggen is nog geen sluitend wiskundig bewijs.

Vertellen evenmin.
Als je van mening bent dat de stelling van Pythagoras nodig is om gelijkvormigheid aan te tonen, laat dat dan zien. Hier heeft niemand wat aan.

Het staat trouwens in bijna geen enkel wiskunde boek voor het Middelbaar onderwijs.

Misschien met een reden?

[tempelier]

Uitleggen is nog geen sluitend wiskundig bewijs.

Vertellen evenmin.
Als je van mening bent dat de stelling van Pythagoras nodig is om gelijkvormigheid aan te ronen, laat dat dan zien. Hier heeft niemand wat aan.

Het staat trouwens in bijna geen enkel wiskunde boek voor het Middelbaar onderwijs.

Misschien met een reden?

Het enige boek waar het in stond was dat van Roel van Asselt Wiskunde
Kwam maar is een druk voor en is daarna weer verdwenen.
Het werkt met limieten die worden meestal pas na gelijkvormigheid behandeld daardoor zal het bewijs wel weinig aandacht krijgen.

Wat je vraagt is niet waar er bestaan meerdere bewijzen van de Stelling van Pyth. die slechts met oppervlakten werken.
Of je misschien de gelijkvoormigheids stelling zonder kan bewijzen weet ik niet zeker.
Ik heb er nooit eentje gezien.

PS.
Het bewijs van gelijkvormigheid, is wel nodig om de sinus de nodige meetkundige betekenis te geven.

[Xilvo]

Wat je vraagt is niet waar er bestaan meerdere bewijzen van de Stelling van Pyth. die slechts met oppervlakten werken.
Of je misschien de gelijkvoormigheids stelling zonder kan bewijzen weet ik niet zeker.

Ik vroeg niet naar een bewijs voor de stelling van Pythagoras maar om een bewijs dat gelijkvormigheid niet kan worden aangetoond zonder die stelling. Maar blijkbaar is dat nu toch niet zo.

[tempelier]

Wat je vraagt is niet waar er bestaan meerdere bewijzen van de Stelling van Pyth. die slechts met oppervlakten werken.
Of je misschien de gelijkvoormigheids stelling zonder kan bewijzen weet ik niet zeker.

Ik vroeg niet naar een bewijs voor de stelling van Pythagoras maar om een bewijs dat gelijkvormigheid niet kan worden aangetoond zonder die stelling. Maar blijkbaar is dat nu toch niet zo.

Ik denk slechts dat het niet kan, maar dat is verre van een bewijs.

PS.
Ik heb dat bij iets soortgelijks ook eens neergezet, bij een van mijn Eerbiedwaardige Leermeester.
Het lukt hem niet het te bewijzen, meer dan vijftig jaar later is het me toch zelf gelukt
Zo zie je, dat het gevoel bedrieglijk is.

Ik had het hem graag willen laten weten, maar hij was helaas overleden.

[Nesciyolo]

Gelijkvormigheid lijkt me meer een definitie dan een stelling. Wat je zou moeten bewijzen is dat bepaalde eigenschappen gedeeld worden door gelijkvormige figuren.
Maar ik ben geen wiskundige. Ik laat jullie dit verder onder elkaar uitvechten.
Volgens mij valt dit buiten het bereik van de stelling van Pythagoras.

[Nesciyolo]

Ik kan voor de volledigheid en voor mensen die het niet zelf zien wel laten zien dat mijn driehoeken volgens de definitie gelijkvormig zijn.

De groottes van de hoeken van een driehoek tellen op to 180º.
Driehoeken zijn gelijkvormig als de corresponderende hoeken gelijk zijn.
Als 2 corresponderende hoeken gelijk zijn moet automatisch de 3e hoek ook gelijk zijn vanwege de 180º regel.

Ik heb mijn tekening wat uitgebreid:

Ik heb een grote rechthoekige driehoek getekend met rechte hoek γ en hoeken α en β. Daarin heb ik vanuit de rechte hoek een loodlijn neergelaten op de tegenoverliggende zijde. Daardoor ontstonden 2 nieuwe driehoeken met een rechte hoek γ.
Dat is de 1e gelijke hoek.

Eén van die twee kleinere driehoeken, de gele, deelt hoek β met de grote driehoek. Dat is de 2e gelijke hoek. De gele driehoek is dus gelijkvormig aan de grote driehoek.

De groene driehoek deelt hoek α met de grote driehoek. Daar is dus ook een 2e gelijke hoek. De groene driehoek is dus ook gelijkvormig aan de grote driehoek.

En daarmee zijn dus ook de gele en de groene driehoek gelijkvormig aan elkaar.