Exponentiële functie

[Acquiesce]

Idd... Kun je daarmee dan verder? (Btw, geef je ook aan of je eerst wil 'kunnen' aantonen dat de rij stijgend is of eerst de ongelijkheid van Bernouilli? Want alles door mekaar wordt maar heel warrig)

Ik wil graag kunnen aantonen dat de rij stijgend is, maar de ongelijkheid van Bernoulli wil ik ook graag begrijpen!

Doe m´n uiterste best om zelf zoveel mogelijk te ontdekken met minimale hulp maar ik merk toch dat ik erg veel hulp nodig heb wat betreft dit onderwerp. (ben niet echt bekend met de stof)

Klinkt echt heel stom, maar ik kan niet bedenken welke functie voldoet aan de voorwaarde 0 > a > -1

Ook mijn vorige opmerking slaat inderdaad natuurlijk kant noch wal, maar ik hoopte door de functies te plotten erachter te komen wat ik met die ongelijkheid kan...

[Safe]

Ik neem aan dat je onderstaande bedoelt?

Mooi, begin eens met 0<a<1, dan mogen we schrijven:

\((1+a)^n>1+na\)

Waarom?

[Drieske]

Ik wil graag kunnen aantonen dat de rij stijgend is, maar de ongelijkheid van Bernoulli wil ik ook graag begrijpen!

Doe m´n uiterste best om zelf zoveel mogelijk te ontdekken met minimale hulp maar ik merk toch dat ik erg veel hulp nodig heb wat betreft dit onderwerp. (ben niet echt bekend met de stof)

Klinkt echt heel stom, maar ik kan niet bedenken welke functie voldoet aan de voorwaarde 0 > a > -1

Ook mijn vorige opmerking slaat inderdaad natuurlijk kant noch wal, maar ik hoopte door de functies te plotten erachter te komen wat ik met die ongelijkheid kan...

We zullen dan eerst voortdoen met da stijgend en daarna overgaan op Bernouilli. Want Bernouilli is toch net dat eenvoudiger om in te zien met Safe zijn tip .

Ivm die functie. Herinner je dat we dit hadden:

\(... = (1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1})\)

. Bekijk hierin nu het stuk:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n = (1 + \frac{-1}{n^2})^n\)

. Zie je in dat dit stuk idd voldoet? Wat moet er gelden om te voldoen aan de voorwaarden? En welke afschatting levert dit op? Dus:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n > ???\)

. De "???" moet je nu vervangen.

EDIT dit wordt echt warrig zo... Mss eens afstemmen op wat er nu eerst wordt ingegaan?

[Acquiesce]

We zullen dan eerst voortdoen met da stijgend en daarna overgaan op Bernouilli. Want Bernouilli is toch net dat eenvoudiger om in te zien met Safe zijn tip .

Ivm die functie. Herinner je dat we dit hadden:

\(... = (1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1})\)

. Bekijk hierin nu het stuk:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n = (1 + \frac{-1}{n^2})^n\)

. Zie je in dat dit stuk idd voldoet? Wat moet er gelden om te voldoen aan de voorwaarden? En welke afschatting levert dit op? Dus:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n > ???\)

. De "???" moet je nu vervangen.

EDIT dit wordt echt warrig zo... Mss eens afstemmen op wat er nu eerst wordt ingegaan?

Misschien is het inderdaad handig om onderwerp voor onderwerp te doen, dus ik stel voor eerst de ongelijkheid aan te pakken.

Uiteraard allebei bedankt voor de hulp!

\((1+a)^n\)

met

\(a=(\frac{-1}{n^2})\)

is dan dus de situatie waarin de voorwaarde 0 > a > -1 voldoet.

Bedoel je met afschatting wat er gebeurt als je "n" heel groot maakt, dus eigenlijk zo:



Of is dit niet de richting die je op wilt?

[Drieske]

Dat is niet helemaal de richting nee... Ik wil de afschatting gewoon heel ruw, door toepassen van bernouilli. En we willen bernouilli toepassen op:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n > ???\)

.

Weet je hoe dit moet? Je moet hiervoor de "a" uit die formule vervangen door wat? Hou steeds in het achterhoofd waar we uiteindelijk naartoe willen.

[Acquiesce]

Dat is niet helemaal de richting nee... Ik wil de afschatting gewoon heel ruw, door toepassen van bernouilli. En we willen bernouilli toepassen op:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n > ???\)

.

Weet je hoe dit moet? Je moet hiervoor de "a" uit die formule vervangen door wat? Hou steeds in het achterhoofd waar we uiteindelijk naartoe willen.

Ik heb nu dus a vervangen in de hele ongelijkheid.

[janamdo]

Hallo,

Ik zit de laatste tijd na te denken over iets en ik hoop dat mensen hier er wat vanaf weten.

Ik weet namelijk dat

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)

Dit heb ik zo uit mijn hoofd geleerd, maar verder weet ik er niets van eigenlijk. Maar waarom is dit zo? Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan? Ik weet hoe e gedefinieerd is, maar dat zegt verder eigenlijk niks over deze speciale eigenschap van de exponentiele functie. Op internet vind ik er eigenlijk niet heel veel specifieke informatie over.

Dus ik ben eigenlijk wel eens benieuwd naar het verhaal erachter.

Betekent de waarde van afgeleide van de functie gelijk is aan de functiewaarde in dat punt

In het punt (0,1) is de functiewaarde 1 en de afgeleide heeft die waarde ook in dat punt en tan 45 gr = 1

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)

Er is maar één exponentiele functie te vinden met een bepaald waarde grondgetal ( blijkbaar het getal e ) waarvan de afgeleide in elk punt gelijk is aan de functiewaarde zelf

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)

probeer maar vul x = 2 in

Het leuke is om daar maar eens op te komen...

Om dat te begrijpen moet je weten wat de afgeleide van een functie is zowel als limiet definitie van een afgeleide functie ( de limiet van een differentiaalquotient ) en de meetkundige betekenis ( de raaklijn) die aan deze limiet gegeven word

[Safe]

Ik heb nu dus a vervangen in de hele ongelijkheid.

En nu terug naar je beginpunt, dwz het quotiënt waarvan je moet aantonen dat het groter dan 1 is.

[Acquiesce]

En nu terug naar je beginpunt, dwz het quotiënt waarvan je moet aantonen dat het groter dan 1 is.

Dit was het quotiënt waarmee we begonnen waren:

\(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}} = (1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1})\)

Wat ik uitgeschreven heb was dit:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n > (\frac{n-1}{n})\)

Maar hier staat nog niet hetzelfde...(?)

[Drieske]

Ja, maar je hebt nog een andere term waarmee je dit moet vermenigvuldigen. Dus vul deze ongelijkheid in in je bovenste term:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) > ???\)

[Acquiesce]

Ja, maar je hebt nog een andere term waarmee je dit moet vermenigvuldigen. Dus vul deze ongelijkheid in in je bovenste term:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) > ???\)

Ik begrijp de hint niet goed. Volgt dan dit?

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) > (\frac{n-1}{n}) \)

(hij klopt overigens wel, maar is dit ook de ongelijkheid die je bedoelt?)

[Drieske]

Nee... De tweede term moet je gewoon behouden. Stel je hebt a*b en je weet dat a>2. Dan weet je van het geheel a*b dat dit groter is dan 2*b. Snap je dit?

[Acquiesce]

Nee... De tweede term moet je gewoon behouden. Stel je hebt a*b en je weet dat a>2. Dan weet je van het geheel a*b dat dit groter is dan 2*b. Snap je dit?

Je voorbeeld is helder en snap ik!

Ik weet dat:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) > 1\)

En dat:

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) = a\)

(volgens jouw voorbeeld)

Ik moet dus nog vermenigvuldigen met "b". (zoals je al eerder aangaf in een post)

Wat is dan toch die b?? (het kwartje valt gewoon niet...)

[Safe]

Ik begrijp de hint niet goed. Volgt dan dit?

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) > (\frac{n-1}{n}) \)

(hij klopt overigens wel, maar is dit ook de ongelijkheid die je bedoelt?)

@Drieske: delen van een product heten factoren (en geen termen).

@Acquiesce: Je laat de tweede factor weg, wat betekent dat? En eigenlijk (zonder weglaten) ben je waar je wezen wil. Ga dat na.

[Acquiesce]

@Drieske: delen van een product heten factoren (en geen termen).

@Acquiesce: Je laat de tweede factor weg, wat betekent dat? En eigenlijk (zonder weglaten) ben je waar je wezen wil. Ga dat na.

Ik denk dat het dan betekent dat ik niet aantoon wat ik wil?

\((1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n}{n-1}) > (1 - \frac{1}{n^2})^n (\frac{n-1}{n})\)

Is bovenstaand dan de juiste?

(ik kan weinig voorbeelden vinden van de ongelijkheid van Bernoulli)