in- en omgeschreven cirkels

[efdee]

Elk regelmatige n-hoek heeft een in- en omgeschreven cirkel. Feit.
Nu omgekeerd.
Als een veelhoek een in- en omgeschreven cirkel heeft, is die dan gegarandeerd regelmatig?

[RedCat]

Neem n=3: een driehoek heeft een in- en omgeschreven cirkel, maar is die dan ook gegarandeerd gelijkzijdig?

[die hanze]

Neen, denk dat je wel heel snel een tegenvoorbeeld kunt construeren.

[RedCat]

n=4: een rechthoekige vlieger (hoeken B en D zijn 90°)

[Rik Speybrouck]

Een mooie gelijkheid in een een vierhoek met een ingeschreven en een omschreven cirkel. Zie bijlage

[Back2Basics]

Elk regelmatige n-hoek heeft een in- en omgeschreven cirkel. Feit.

Klopt het dat de middelpunten van de cirkels samenvallen?
Als dat zo is, dat moet je waarschijnlijk bij het omgekeerde, een extra voorwaarde stellen :- )

[efdee]

Je bedoelt
'Als een veelhoek een in- en omgeschreven cirkel heeft met hetzelfde middelpunt,
is die dan gegarandeerd regelmatig?' ?

[CoenCo]

Stel:
Je hebt 2 willekeurige cirkels met hetzelfde middelpunt en een iets verschillende straal.
Je tekent daarin 1 lijnstuk. Dit lijnstuk voldoet aan de eisen voor in- en omgeschreven cirkels: "eindpunten op de omgeschreven cirkel, ingeschreven cirkel raken".

Is het nu mogelijk om vanaf het eindpunt een nieuwe lijn te trekken met een andere lengte, dat nog steeds aan diezelfde eisen voldoet?
Als het antwoord nee is, dan zal dus elk lijnstuk (van een veelhoek die in- en omgeschreven cirkels met identiek middelpunt bezit) even lang moeten zijn.
Aangezien alle hoekpunten ook op de omgeschreven cirkel vallen, kan de veelhoek niet anders dan regelmatig zijn.