x!/N^x

[PhilipVoets]

Dag,

Uit interesse: het valt me op dat de minima van de functie x!/N^x met N geheel positief getal lijken te liggen bij het punt (N-0.5,0). Ter illustratie: minimum van x!/5^x lijkt te liggen op (4.5,0); minimum van x!/9^x lijkt te liggen op (8.5,0), minimum van x!/21^x lijkt te liggen op (20.5,0), etc.
Is dit te bewijzen? Je kunt een faculteit bij mijn beste weten niet een faculteit differentiëren, dus bepalen van een eerste afgeleide om die gelijk aan nul te stellen lijkt me lastig. Of gebruik je daarvoor de Stirling-benadering?

Ik hoor het graag terug, dank alvast!

[wnvl1]

De faculteit, gedefinieerd voor natuurlijke getallen kan uitgebreid worden naar de reële getallen via de gammafunctie.
De gammafunctie zou je dan wel kunnen differentiëren. En zo geraak je verder.

[Xilvo]

Is dit te bewijzen? Je kunt een faculteit bij mijn beste weten niet een faculteit differentiëren, dus bepalen van een eerste afgeleide om die gelijk aan nul te stellen lijkt me lastig. Of gebruik je daarvoor de Stirling-benadering?

Zoals je schrijft, de stirlingformule is een benadering.
Je kunt de gamma-functie gebruiken, voor hele n \(\Gamma(n+1)=n!\)

[ukster]

de asymptotische reeks

reeks.png (1.27 KiB) 1103 keer bekeken

differentiëren en nul stellen geeft numeriek x≈4,4917

[PhilipVoets]

Misschien betreft het hier mijn gebrekkige kennis van gevorderde wiskunde, maar volgt hieruit dan op een inzichtelijke wijze dat de nulpunten allemaal bij benadering liggen rond N - 0.5?

[Xilvo]

Stel, je hebt de waarde voor \(\frac{x!}{N^x}\)
Je telt bij x 1 op: \(\frac{(x+1)!}{N^{x+1}}=\frac{x!(x+1)}{N^x N}\)

Het is duidelijk dat dat dezelfde waarde oplevert indien \(x+1=N\)
Je verwacht dus een extreem tussen die waardes.

De minima liggen niet precies bij x=N-0,5 maar iets lager. Hoe groter N, hoe dichter de minima naar N-0,5 naderen.

[ukster]

Bij N=1 iets hoger(0,54599)

[Xilvo]

Bij N=1 iets hoger

Daar vind ik x=0,46163, dus ook iets lager.

Vreemd, want voor N=5 vind ik wel dezelfde waarde als je in een eerder bericht vermeldt.

[ukster]

klopt.. foutje!

minimum.png (2.53 KiB) 942 keer bekeken

[PhilipVoets]

Stel, je hebt de waarde voor \(\frac{x!}{N^x}\)
Je telt bij x 1 op: \(\frac{(x+1)!}{N^{x+1}}=\frac{x!(x+1)}{N^x N}\)

Het is duidelijk dat dat dezelfde waarde oplevert indien \(x+1=N\)
Je verwacht dus een extreem tussen die waardes.

De minima liggen niet precies bij x=N-0,5 maar iets lager. Hoe groter N, hoe dichter de minima naar N-0,5 naderen.

Scherp!