x!/N^x
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 308
x!/N^x
Dag,
Uit interesse: het valt me op dat de minima van de functie x!/N^x met N geheel positief getal lijken te liggen bij het punt (N-0.5,0). Ter illustratie: minimum van x!/5^x lijkt te liggen op (4.5,0); minimum van x!/9^x lijkt te liggen op (8.5,0), minimum van x!/21^x lijkt te liggen op (20.5,0), etc.
Is dit te bewijzen? Je kunt een faculteit bij mijn beste weten niet een faculteit differentiëren, dus bepalen van een eerste afgeleide om die gelijk aan nul te stellen lijkt me lastig. Of gebruik je daarvoor de Stirling-benadering?
Ik hoor het graag terug, dank alvast!
Uit interesse: het valt me op dat de minima van de functie x!/N^x met N geheel positief getal lijken te liggen bij het punt (N-0.5,0). Ter illustratie: minimum van x!/5^x lijkt te liggen op (4.5,0); minimum van x!/9^x lijkt te liggen op (8.5,0), minimum van x!/21^x lijkt te liggen op (20.5,0), etc.
Is dit te bewijzen? Je kunt een faculteit bij mijn beste weten niet een faculteit differentiëren, dus bepalen van een eerste afgeleide om die gelijk aan nul te stellen lijkt me lastig. Of gebruik je daarvoor de Stirling-benadering?
Ik hoor het graag terug, dank alvast!
- Berichten: 2.369
Re: x!/N^x
De faculteit, gedefinieerd voor natuurlijke getallen kan uitgebreid worden naar de reële getallen via de gammafunctie.
De gammafunctie zou je dan wel kunnen differentiëren. En zo geraak je verder.
De gammafunctie zou je dan wel kunnen differentiëren. En zo geraak je verder.
- Moderator
- Berichten: 10.030
Re: x!/N^x
Zoals je schrijft, de stirlingformule is een benadering.PhilipVoets schreef: ↑ma 01 jan 2024, 20:28
Is dit te bewijzen? Je kunt een faculteit bij mijn beste weten niet een faculteit differentiëren, dus bepalen van een eerste afgeleide om die gelijk aan nul te stellen lijkt me lastig. Of gebruik je daarvoor de Stirling-benadering?
Je kunt de gamma-functie gebruiken, voor hele n \(\Gamma(n+1)=n!\)
- Berichten: 4.563
Re: x!/N^x
de asymptotische reeks
differentiëren en nul stellen geeft numeriek x≈4,4917-
- Berichten: 308
Re: x!/N^x
Misschien betreft het hier mijn gebrekkige kennis van gevorderde wiskunde, maar volgt hieruit dan op een inzichtelijke wijze dat de nulpunten allemaal bij benadering liggen rond N - 0.5?
- Moderator
- Berichten: 10.030
Re: x!/N^x
Stel, je hebt de waarde voor \(\frac{x!}{N^x}\)
Je telt bij x 1 op: \(\frac{(x+1)!}{N^{x+1}}=\frac{x!(x+1)}{N^x N}\)
Het is duidelijk dat dat dezelfde waarde oplevert indien \(x+1=N\)
Je verwacht dus een extreem tussen die waardes.
De minima liggen niet precies bij x=N-0,5 maar iets lager. Hoe groter N, hoe dichter de minima naar N-0,5 naderen.
Je telt bij x 1 op: \(\frac{(x+1)!}{N^{x+1}}=\frac{x!(x+1)}{N^x N}\)
Het is duidelijk dat dat dezelfde waarde oplevert indien \(x+1=N\)
Je verwacht dus een extreem tussen die waardes.
De minima liggen niet precies bij x=N-0,5 maar iets lager. Hoe groter N, hoe dichter de minima naar N-0,5 naderen.
- Moderator
- Berichten: 10.030
-
- Berichten: 308
Re: x!/N^x
Scherp!Xilvo schreef: ↑di 02 jan 2024, 16:58 Stel, je hebt de waarde voor \(\frac{x!}{N^x}\)
Je telt bij x 1 op: \(\frac{(x+1)!}{N^{x+1}}=\frac{x!(x+1)}{N^x N}\)
Het is duidelijk dat dat dezelfde waarde oplevert indien \(x+1=N\)
Je verwacht dus een extreem tussen die waardes.
De minima liggen niet precies bij x=N-0,5 maar iets lager. Hoe groter N, hoe dichter de minima naar N-0,5 naderen.