Wat is sneller? Opwarmen of afkoelen?

[Xilvo]

Hiervoor moeten fotonen in de lichamen getransformeerd worden van de ene golflengte naar de andere.

Ik zou het zo niet formuleren. Ik zou eerder zeggen dat fotonen geabsorbeerd worden en dat er ook weer fotonen uitgezonden worden. Maar dat is een kwestie van smaak. Wanneer is een foton nog hetzelfde foton?

Dit gebeurt onder behoud van energie en entropie in de stationaire toestand. Netto is er geen transport van energie tussen rood en groen.

De stationaire toestand is hier dan een toestand met stralingsevenwicht, gelijke temperaturen.

[HansH]

Ongelijke temperaturen bij een stationaire toestand krijg je als er "bronnen" en "putten" zijn. Zo is in het zonnestelsel de zon een bron, het heelal de put.
De emissiecoëfficiënt zegt simpelweg welke fractie van de theoretisch maximale zwarte straling daadwerkelijk wordt uitgezonden terwijl 1 min die emissiecoëfficiënt zegt hoeveel van de invallende straling wordt gereflecteerd.

ok, dat was duidelijk, maar voor mij nog steeds onduidelijk wat dat zegt dat over de temperatuur. misschien helpt een rekenvoorbeeldje
gaat weer over een bolschil met binnen bol.

[wnvl1]

Ik zou denken dat je de temperatuur T van de bol dan berekent uit

$$1000^4 + 0.8*500^4 = 2*0.5T^4$$

[wnvl1]

Ik zou het zo niet formuleren. Ik zou eerder zeggen dat fotonen geabsorbeerd worden en dat er ook weer fotonen uitgezonden worden. Maar dat is een kwestie van smaak. Wanneer is een foton nog hetzelfde foton?

Ja, dat geldt evenzeer voor de andere elemantaire deeltjes. Uiteindelijk zijn het wiskundige oplossing van gekoppelde veldvergelijkingen.

Het beeld blijft wel vervelend om intuïtief aan te voelen dat er behoud van entropie is. Je zou denken 1 foton worden er meerdere, dus meer mogelijkheden, dus toename van de entropie.

[Xilvo]

Ik zou denken dat je de temperatuur T van de bol dan berekent uit

$$1000^4 + 0.8*500^4 = 2*0.5T^4$$

Ik ben bang dat het niet zo eenvoudig is. Je moet er reken mee houden onder welke ruimtehoek een deel van 500 K het deel van 1000 K ziet, voor elk punt. Want dat wordt weer gereflecteerd, net als wat hij van de bol in het midden ontvangt en wat hij van zijn eigen helft ontvangt.

[Xilvo]

Om het makkelijk te maken geen bollen maar drie vlakke platen, eentje tussen twee andere waarvan de temperaturen op 1000 resp. 500 K gehouden worden.

Drie oneindig grote vlakke platen. Links met temperatuur \(T_1\) en \(\epsilon=1\).
Dan eentje met temperatuur \(T_0\) en \(\epsilon =0,5\).
Tenslotte rechts eentje met \(T_2\) en \(\epsilon =0,8\)

Stel je kijkt steeds naar een oppervlak met grootte 1. De Stefan-Boltzmannconstante stellen we ook 1, dat maakt voor het principe niet uit.

Links (tussen linkerplaat en middelste plaat) heb je een warmtestroom naar rechts \(Q_{1,R}= T_1^4\) en een warmtestroom naar links \(Q_{1,L}=0,5(T_1^4+T_0^4)\), de helft van wat naar rechts gaat wordt teruggekaatst.
Netto naar rechts \(Q_{1,N}=0,5 (T_1^4-T_0^4)\)

Tussen de middelste en de rechterplaat heb je een warmtestroom naar rechts \(Q_{2,R}=0,5 T_0^4+0,5 Q_{2,L}\)
Naar links \(Q_{2,L}=0,8 T_2^4+0,2 Q_{2,R}\)

Samen geeft dat \(Q_{2,L}=0,8 T_2^4+0,1 T_0^4+0,1 Q_{2,L} \)

\(Q_{2,L}=\frac{8}{9}T_2^4+\frac{1}{9}T_0^4\)

En naar rechts \(Q_{2,R}=0,5 T_0^4+\frac{4}{9}T_2^4+\frac{1}{18}T_0^4=\frac{10}{18}T_0^4+\frac{4}{9}T_2^4\)

Netto naar rechts \(Q_{2,N}=\frac{8}{18} T_0^4-\frac{4}{9} T_2^4\)

Bij stationaire toestand (middelste plaat ontvangt evenveel als wat die verliest) geldt
\(\frac{8}{18} T_0^4-\frac{4}{9} T_2^4=0,5 (T_1^4-T_0^4)\)

dus
\(\frac{17}{18}T_0^4=\frac{1}{2}T_1^4+\frac{4}{9} T_2^4\)
of
\(17 T_0^4=9 T_1^4+8 T_2^4\)

Bij de gegeven temperaturen, \(T_1=1000 K\) en \(T_2=500 K\), geeft dat een temperatuur voor de middelste plaat van \(T_0=864,6 K\)

Nog een heel verhaal voor zo'n simpel geval...

[HansH]

dat klopt ook mooi voor T1=T2. dan was al bekend dat T0=T1=T2.

[Xilvo]

dat klopt ook mooi voor T1=T2. dan was al bekend dat T0=T1=T2.

Ja, gelukkig wel. Eerst niet, toen wist ik dat ik een foutje had gemaakt. Gelukkig zat dat pas tegen het eind en was makkelijk te vinden.

[HansH]

mooi resultaat

[Xilvo]

mooi resultaat

Dank je.

Je begrijpt dat ik aan de bollen maar niet begin. Alleen als de middelste bol maar net in de buitenste past, dan is het principieel niet anders dan wat ik met vlakke platen deed.

[wnvl1]

Mmmm, ik had het dan toch nog niet helemaal door. Nu snap ik het eindelijk.

[wnvl1]

Je gaat dan voor het originele probleem moeten opsplitsen in infinitesimale kleine oppervlakjes \(r^2 sin \theta d\theta d\phi\) en dan de straling van overal in rekening brengen. Rekening houden wat de hoek is van de straling met de normaal.
Lastigste is dat voor de sferen een stuk van de verstaande sfeer afgeschermd wordt door de binnenste bol. Lastig om al die integratiegrenzen goed te krijgen.

[Xilvo]

Je gaat dan voor het originele probleem moeten opsplitsen in infinitesimale kleine oppervlakjes \(r^2 sin \theta d\theta d\phi\) en dan de straling van overal in rekening brengen. Rekening houden wat de hoek is van de straling met de normaal.
Lastigste is dat voor de sferen een stuk van de verstaande sfeer afgeschermd wordt door de binnenste bol. Lastig om al die integratiegrenzen goed te krijgen.

En dan nog, je bent er niet als je weet wat een oppervlakte-elementje allemaal "ziet". Het oppervlakte-elementje straalt, dat wordt deels ergens anders geabsorbeerd, maar deels gereflecteerd. Een deel daarvan valt weer terug op dat oppervlakte-elementje waarbij ook weer een deel gereflecteerd wordt en dat gaat in principe oneindig door.

In m'n verhaal hierboven is het tussen de linkerplaten in een keer op te schrijven omdat één van de emissiecoëfficiënten 1 is. Dat maakt het makkelijk. Aan de andere kant, rechts, lukt dat al niet en wordt het wat minder rechttoe-rechtaan.
Hoe je dat voor die bollen in z'n algemeenheid handig zou kunnen aanpakken zie ik nog niet.

[HansH]

Je begrijpt dat ik aan de bollen maar niet begin.

ja dat is zeker logisch, want het voegt aan het idee niets toe, maar vraagt alleen een hoop rekenwerk. misschien wel leuk als een puzzeltje in een ander topic wat meer gericht is op de rekentrukendoos.

[wnvl1]

Je bedoelt dat je niet ineens de evenwichtstoestand kan uitrekenen op basis van de temperaturen. Je moet dan werken met een eindige elementen methode waarbij je voor elk elementair deeltje bijhoudt wat zijn temperatuur is en hoeveel het straalt in elke richting. En dan bereken je de propagatie van die straling en de interacties over de tijd. Zou kunnen, gaat wel in tegen mijn intuïtie voor dit probleem. Omdat de buitentemperatuur vastliggen zou ik gedacht hebben dat het direct uit te rekenen was.