nulpunten

[ukster]

nulpunten.png (3.96 KiB) 2025 keer bekeken

[RedCat]

Via Cardano's formule:

Gegeven:
\(30x^3-5x^2+12=0\)

Dit transformeert met
\(x=t+\frac{1}{18}\)
naar
\(t^3 + pt + q = 0\)
met
\(p=\frac{-1}{108}\)
en
\(q=\frac{5827}{14580}\)

waardoor we nu op zoek zijn naar (i = 1..3, \(t_i\) = de 3 oplossingen):

\(\prod \frac{x_i+2}{x_i-1} = \prod \frac{t_i+\frac{1}{18}+2}{t_i+\frac{1}{18}-1} = \prod \frac{t_i+\frac{37}{18}}{t_i+\frac{-17}{18}}= \prod \frac{t_i+m}{t_i+n} =\; ?\)

(constanten m en n bij deze gedefinieerd)


De oplossingen via Cardano zijn:
\(t_1 = k_1+k_2\)
\(t_2 = \epsilon_1 k_1+ \epsilon_2 k_2\)
\(t_3 = \epsilon_2 k_1+ \epsilon_1 k_2\)
met
\(\epsilon_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\)
\(\epsilon_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(k_1 = \) de principal cube root van \(u_1\)
\(k_2 = \) de principal cube root van \(u_2\)

waarbij

\(u1 = \frac{-q}{2}+\sqrt{W}\)
\(u2 = \frac{-q}{2}-\sqrt{W}\)
\(W=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\)

Hiermee reduceert je breukenproduct (= je vraagteken) tot

\(?\;= \frac{-q+mp+m^3}{-q+np+n^3} = \frac{-248}{37} = -6.702702702...\)

[wnvl1]

Dat kan eenvoudiger, denk ik.

Je kan formules afleiden voor som en producten van nulpunten van een veelterm.

https://testbook.com/maths/zeros-of-a-c ... CE%B1%3Dca

[RedCat]

Daarmee wordt het inderdaad heel erg eenvoudig:

\(? \; = \frac{-d+2c-4b+8a}{-d-c-b-a}=\frac{-12+20+240}{-12+5-30}=\frac{248}{-37}\)

[ukster]

Een substitutie en één van Viete’s Formules voor de 3e graad polynoom