De grote raadseltopic

[PeterPan]

In afwachting van het antwoord op vraag 8 het volgende

Raadsel 9

Geeft twee irrationale getallen p en q zo dat p^q rationaal is.

Om te voorkomen dat iemand iets roept als e ⁱ = -1 de extra eis: Toon tevens aan dat jouw p en q irrationaal zijn.

Hint: Van welke getallen kun je bewijzen dat ze irrationaal zijn?

[Math]

In afwachting van het antwoord op vraag 8...

Wel Wouter_Masselink?

[PeterPan]

Oplossing 9

Ik toon eerst aan dat 2 irrationaal is.

Stel niet, dan is 2 = a/b met a,b .

Dan is a² = 2 b², ofwel (binair)

a² = 10 b².

Het linker lid eindigt op een even aantal nullen en het rechter op een oneven aantal.

Onmogelijk, dus 2 is irrationaal.

2 ² is rationaal of irrationaal.

Is het rationaal, dat zijn we klaar.

Is het echter irrationaal, dan is zowel 2 als 2 ² irrationaal en

( 2 ²) ² = 2 ² = 2 en dus rationaal.

[TD]

Dit is te vinden op http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=19074.

[PeterPan]

Dit is te vinden op http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=19074.

Niet interessant. Het probleem is niet van die Pieter. Het is veel ouder.

Bovendien geeft hij niet zo'n mooi kort bewijs van de irrationaliteit van 2.

Nog een verrassende vraag:

Wat klopt er niet aan mijn bewijs? (Nou? TD! ?)

[TD]

Ik beweer ook helemaal niet dat die Pieter het probleem zou hebben 'uitgevonden'. Ik was het gewoon al eerder, toevallig tegengekomen en herkende hetzelfde probleem nu hier. Verder mag jij je bewijs gerust veel beter vinden, de essentie ging volgens mij niet over de irrationaliteit van wortel 2. Beetje vreemde reactie, maar goed: je hoeft het natuurlijk helemaal niet 'interessant' te vinden.

[PeterPan]

Ik beweer ook helemaal niet dat die Pieter het probleem zou hebben 'uitgevonden'. Ik was het gewoon al eerder, toevallig tegengekomen en herkende hetzelfde probleem nu hier. Verder mag jij je bewijs gerust veel beter vinden, de essentie ging volgens mij niet over de irrationaliteit van wortel 2. Beetje vreemde reactie, maar goed: je hoeft het natuurlijk helemaal niet 'interessant' te vinden.

Nou nou. Het is keurig dat je dat gevonden hebt. Ik ben daar ook helemaal niet over gestruikeld. Blijft over mijn vraag:

Wat klopt er niet aan mijn bewijs? (het bewijs is niet correct bedoel ik).

[TD]

Heb je het over het gedeelte van de irrationaliteit van [wortel]2 of daarna?

Ik weet niet of je daarop doelt, maar je toont aan dat zo twee getallen bestaan, het is nog steeds onbekend welke het dan zijn (dus je hebt nog geen p en q waarvan je hebt aangetoond dat ze beide irrationaal zijn). Moest het dat niet zijn, dan zie ik niet direct wat er aan de tweede redenering fout is; ik kan natuurlijk ergens overheen kijken.

[dr. E. Noether]

@PeterPan. De fout in jouw bewijs is dat je de lezer geen duidelijkheid geeft welke twee getallen \( p \) en \( q \) met \( p,q \notin \qq \) nu precies de eigenschap bezitten dat \( p^q \in \qq \), terwijl je de lezer ervoor vroeg deze getallen \( p \) en \( q \) aan te geven: moet de lezer nu kiezen voor \( q = \sqrt{2} \) en \( p = \sqrt{2} \) of toch maar voor \( p = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\). De lezer weet immers alleen dat of \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \qq \) of \( (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} \in \qq \).

EDIT >>>>>>>> TD! was me net voor (dat akelige LaTeX ook).

[PeterPan]

Inderdaad. Er zijn zelfs wiskundigen "constructivisten" die het ook niet als een bewijs accepteren voor het bestaan van irrationale getallen p en q met p^q rationaal.

Wie komt met probleem 10?

[TD]

Raadsel 10

Misschien niet zo moeilijk voor de getrainde wiskundigen, in dat geval eventueel ook wat tijd geven aan de anderen?

Beschouw een rooster (zoals in deze figuur), niet noodzakelijk een kubus. Laten we zeggen een balk met dimensies 7 x 12 x 9. Plaats het voor het gemak even in een cartesisch assenstelsel, één hoekpunt in (0,0,0) en het verst verwijderde zit dan in (7,12,9).

Hoeveel mogelijke (verschillende) kortste wegen zijn er tussen deze twee punten, als je je verplaatst over de verbindende lijnstukken tussen de punten met de gehele coördinaten. Elk tussenstukje telt voor één lengte.

Voor het goede begrip:

- paden verschillen reeds wanneer er minstens één verbindend stukje anders is

- je moet uiteraard niet buiten het rooster gaan, het zou er ook niet korter op worden

- er is dus een minimum aantal lengtes dat je moet afleggen, maar met dat aantal zijn er een hoop verschillende wegen mogelijk

Uiteraard zijn de getallen willekeurig en is het niet zozeer een numeriek antwoord dat interessant is, maar een methode die dan ook gemakkelijk toe te passen is voor lengtes x,y,z of zelfs in hogere (en lagere) dimensies.

[raintjah]

Oplossing 10

Ik zou een herhalingspermutatie toepassen.

Namelijk:

\( P^{\overline{7,9,12}}_{28} = \frac{28!}{7! \cdot 9! \cdot 12!} \approx 3,48 \cdot 10^{11} \)

Raadsel 11

Op een vergadering geeft elk aanwezige juist één keer een hand aan elke andere aanwezige. Er zijn 36 handdrukken tussen twee dames en 28 tussen twee heren. Het aantal handdrukken tussen een heer en een dame is?

[TD]

Namelijk:

\(\frac{28!}{7! \cdot 9! \cdot 12!} \)

Dit is juist en in deze vorm ook makkelijk uit te breiden naar andere dimensies/getallen (wetende dat die 28 = 7+9+12).

Heb je ook een redenering die hiertoe leidde?

[raintjah]

Namelijk:

\(\frac{28!}{7! \cdot 9! \cdot 12!} \)

Dit is juist en in deze vorm ook makkelijk uit te breiden naar andere dimensies/getallen (wetende dat die 28 = 7+9+12).

Heb je ook een redenering die hiertoe leidde?

Je moet, om op de korstste weg in je eindpunt te geraken, 7 eenheden over de x-as verschuiven, 12 eenheden over de y-as en 9 eenheden over de z-as. In totaal moet je dus 28 eenheden verschuiven. Aangezien je de verschillende mogelijkheden wilt weten om deze 28 wegen af te leggen moet je een permutatie gebruiken. Het is een herhalingspermutatie omdat dezelfde beweging meerdere keren voorkomt. Je zal bijvoorbeeld meerdere malen in de richting van de x-as moeten verschuiven om in je eindpunt te geraken.

[TD]

Inderdaad.

Het principe legt zich wat eenvoudiger uit in 2D, laten we zeggen in een rooster met breedte 4 en hoogte 3. Je kan dan elk pad voorstellen door een 'woord' van 7 letters, met 4 keer een b en 3 keer een h.

Bijvoorbeeld: bbbbhhh. Dit is eerst volledig over de breedte gaan en dan stijgen. Elk 'anagram' stelt dan een nieuwe weg voor, er zijn er in het algemeen 7! van deze maar door de herhaling van de letters nog delen door (3!4!). Zo is de link gelegd met waarschijnlijk een bekender vraagstuk in de combinatieleer.